Riemannsche Summe (Oberintegral)

27.01.2007, 19:01

Cordovan

Riemannsche Summe (Oberintegral)

Gruße!

Von meiner neuesten Übung habe ich alle Aufgaben gelöst, bis auf die erste, dei auch noch mit "einfach" gekennzeichnet ist. Sie scheint auch einfach zu sein, allerdings komme ich irgendwie nicht auf das richtige Ergebnis.

Ich soll das Integral $\begin{eqnarray*} \int_a^b\,x^2\dd x \end{eqnarray*}$ mit der Obersumme bestimmen. Ist mein Ansatz dafür richtig? Denn mit jenem Ansatz komme ich nicht zur richtigen Lösung:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b\,x^2\dd x = \lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{j=1}^k\frac{b-a}{k}\cdot\left(a+\frac{(b-a)j}{k}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Wo liegt mein Fehler?

Vielen Dank!
Cordovan

27.01.2007, 19:06

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Riemannsche Summe (Oberintegral)
Weißt du denn etwas über die Integrationsgrenzen a und b (positiv, negativ,...)? Wenn nicht brauchst du evtl. Fallunterscheidungen.

27.01.2007, 19:10

Cordovan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Riemannsche Summe (Oberintegral)
Daraus schließe ich mal, dass mein Ansatz falsch ist smile

Über die Integrationsgrenzen weiß ich nahezu nichts; nur dass $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ , aber das war ja zu erwarten.
Müsste ich dann tatsächlich unterscheiden nach größer 0, kleiner 0? Das wird ja dann recht aufwändig.

Cordovan

27.01.2007, 19:20

DGU

Auf diesen Beitrag antworten »

dein Ansatz sieht grob eigentlich richtig aus

am besten du schreibst erstmal alles, was nicht von j abhängt, vor die Summe.

warum schreibst du hier ( a + BRUCH ) ^2 noch das a als Summand davor?

später gibts dann eine arithmetische Summenformel für die Summe von j=1 bis k über j^2

27.01.2007, 19:31

Cordovan

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

warum schreibst du hier ( a + BRUCH ) ^2 noch das a als Summand davor?

Ich möchte ja die Breite des Intervalls $\begin{eqnarray*} \frac{b-a}{k} \end{eqnarray*}$ mit den Funktionswerten im Intervall multiplizieren. Die liegen doch aber an den Stellen $\begin{eqnarray*} a+\frac{1}{k}(b-a) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a+\frac{2}{k}(b-a) \end{eqnarray*}$ und so weiter, oder täusche ich mich da?

Zitat:

später gibts dann eine arithmetische Summenformel für die Summe von j=1 bis k über j^2

Ja, das Stand auch so in der Aufgabenstellung, dass wir die brauchen werden und deshalb mit Induktion beweisen sollen. Das habe ich auch schon getan; in meinem Ansatz verwende ich sie auch zwischendurch, komme trotzdem aber auf ein falsches Ergebnis. Das lautet übrigens $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}b^3+\frac{2}{3}a^3-a^2b \end{eqnarray*}$ , wenn also im letzten Summanden das b ein a wäre, wäre das Ergebnis richtig.

Mein ihr, ich habe mich nur verrechnet? Ich habe das ja leider schon zum dritten Mal raus... unglücklich

Cordovan

27.01.2007, 19:37

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Riemannsche Summe (Oberintegral)

Zitat:

Original von Cordovan
Müsste ich dann tatsächlich unterscheiden nach größer 0, kleiner 0? Das wird ja dann recht aufwändig.

Naja eigentlich muss man sich zur Berechnung der Obersumme erstmal eine Zerlegung des Intervalls $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ vorgeben (in Abhängigkeit von n). Sei diese $\begin{eqnarray*} Z_n: a=t_0<t_1<\dots<t_n=b \end{eqnarray*}$ . Betrachten wir nun die Teilintervalle $\begin{eqnarray*} I_k:=[t_{k-1},t_k) \end{eqnarray*}$ , dann ist die Obersumme doch grade:

$\begin{eqnarray*} S(Z_n)=\sum_{k=1}^n |I_k|\sup_{x\in I_k}(f(x)) \end{eqnarray*}$

So und da die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ nicht monoton ist, kannst du nicht allgemein sagen, an welcher Intervallgrenze von $\begin{eqnarray*} I_k \end{eqnarray*}$ (also rechte oder linke) das Supremum von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ liegt. Daher die Idee mit der Fallunterscheidung.

27.01.2007, 20:03

Cordovan

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, aber dann müsste ich diese Unterscheidung aber für jedes Intervall durchführen, oder? verwirrt

Kannst du mir da noch einen Tipp geben, inwiefern ich meinen Ansatz ändern müsste?

Cordovan

27.01.2007, 20:48

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Fall: $\begin{eqnarray*} 0\leq a<b \end{eqnarray*}$ sollte klar sein.

2. Fall: $\begin{eqnarray*} a<b\leq 0 \end{eqnarray*}$ ebenfalls unproblematisch.

3. Fall: $\begin{eqnarray*} a<0<b \end{eqnarray*}$ . Verwende $\begin{eqnarray*} \int_a^b x^2 \dd x= \int_a^0 x^2\dd x + \int_0^b x^2\dd x \end{eqnarray*}$ .

27.01.2007, 22:30

Cordovan

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dieser Fallunterscheidung hat es funktioniert. Danke!
Gibt es also keine Möglichkeit, bei nicht monotonen Funktionen die Obersumme in einem Fall zu bestimmen? Nur für den Fall, dass ich das in einer Klausur machen muss, in der ich vielleicht unter Zeitdruck stehe?

Cordovan

28.01.2007, 10:36

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mache das immer mit Fallunterscheidung! Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Riemannsche Summe (Oberintegral)

Verwandte Themen