X-Achse/Y-Achse vertauschen |
| 29.05.2012, 12:19 | Yassin | Auf diesen Beitrag antworten » |
| X-Achse/Y-Achse vertauschen Grundfrage: Warum soll man in einem kartesischen Koordinatensystem die abhängige Variable auf die y-Achse und die unabhängige bzw. unbekannte Variable auf die x-Achse auftragen und nicht umgekehrt? Eigentliches Problem: Ich muss einen ELISA (enzyme-linked immunosorbent assay) auswerten. Dies soll mit einer quadratischen Funktion geschehen. Ich habe eine Standardreihe mit verschiedenen bekannten Konzentrationen erstellt und jeweils die OD-Werte gemesen. Dann habe ich die OD-Werte auf die y-Achse und die logarhitmierten Konz. auf die x-Achse aufgetragen (Excel) und eine Trendlinie 2. Ordnung darübergelegt. Ich erhalte so eine Gleichung 2. Ordnung. Jedoch befindet sich ein Minimum im auszuwertenden Bereich, was nicht sein sollte. Daher habe ich eine Funktion 3. Ordnung ausgewählt und das Minimum war weg (WARUM???). Nun muss muss ich bei verschiedenen Lösungen die Konzentration ermitteln, setze also die gemessenen OD-Werte dieser Lösungen als y ein und forme die Gleichung entsprechen um, um das x zu ermitteln. Bzw. gibt es meist drei mögliche lösungen für x. Kann ich in diesem Fall nicht einfach die OD-Werte der Standardreihe auf die x-Achse auftragen und mit der so erhaltenen Gleichung die unbekannten Konzentrationen ermitteln? Bzw. es geht natürlich, die Frage ist nur, ob es in Ordnung ist, die achsen einfach zu vertauschen. Dürfte doch eigentlich keinen unterschied machen?! Falls doch, warum? Meine Ideen: Ich habe es ausprobiert (also für beide Fälle das x berechnet) und die Ergebnisse stimmen nicht überein. Ich folgere daraus, dass es nicht egal ist, was ich auf die x- und was ich auf die y-Achse auftrage. Mir ist jedoch nicht klar, warum? |
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| 29.05.2012, 14:08 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du darfst die Achsen bzw. die Werte auf denselben ohne Weiteres vertauschen. Denn in diesem Falle wird einfach die Umkehrfunktion ermittelt. Zur Probe kannst du das solcherart ermittelte Wertepaar wieder in die ursprüngliche Funktion einsetzen (natürlich mit vertauschten Koordinaten) und es müsste sich in etwa eine Identität ergeben. Beachte, dass, wenn du die Trendfunktion mit Excel bestimmst, du die Funktionsgleichung und vor allem auch das Bestimmungsmaß anzeigen lassen und genauer in Augenschein nehmen solltest. Das Bestimmungsmaß, es ist das Quadrat des Korrelationskoeffizienten, sollte möglicht zwischen 0,9 und 1 liegen. Andernfalls wurde die Funktion ungenau angenähert, d. h. die gewählte Regression bzw. Kurvenform ist zur Herstellung der Trendfunktion nicht gut geeignet. mY+ |
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| 29.05.2012, 15:09 | Yassin | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank Mythos! der Korrelationskoeffizient liegt zw. 0,9 und 1. Ich gebe dir einmal die Werte: Std. 1: OD: 0,0855 Std. 2: OD: 0,195 Std. 3: OD: 0,548 Std. 4: OD: 1,4265 Std. 1: log. Konz.: 1,6990 Std. 2: log. Konz.: 2,3010 Std. 3: log. Konz.: 2,6990 Std. 4: log. Konz.: 3,3010 Wenn ich die Konz. auf die x-Achse setze, bekomme ich folgende Gleichung: y = -0,0831x^3 + 1,2618x^2 - 3,8607x +3,41 mit R^2 = 1 Nun möchte ich für OD = 0,8595 die Konzentration ausrechnen. Setze die obige Gleichung daher = 0,8595, umgeformt ergibt das: 0,0831x³ - 1,2618x² + 3,8607x - 2,5505 = 0 Dafür bin ich so vorgegangen ( http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm ): Lösen der kubischen Gleichung 0,0831x³ - 1,2618x² + 3,8607x - 2,5505 = 0 ——————————————————————————————————————————————————————————————————————————— — Die kubische Gleichung wird zunächst durch Division mit 0,0831 auf die Normalform x³ + rx² + sx + t = 0 gebracht. x³ - 15,184115523465705x² + 46,45848375451264x - 30,691937424789412 = 0 Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt. (y + 5,061371841155235)³ - 15,184115523465705(y + 5,061371841155235)² + 46,45848375451264(y + 5,061371841155235) - 30,691937424789412 = 0 Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden: p = s - r²/3 = -30,393970988804753 q = 2r³/27 - rs/3 + t = -54,86750954125367 y³ - 30,393970988804753y - 54,86750954125367 = 0 Aus der Gleichung liest man also ab: p = -30,393970988804753 q = -54,86750954125367 Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden. Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen, ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen, und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen. Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia, im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe trigonometrischer Funktionen. Im Falle dieser Gleichung ist R = -287,30583999432656. Da R < 0, liegt der casus irreducibilis vor. Man erhält die Lösungen mit y = 2·kubikwurzel(u)·cos(w/3 + v), wobei u = sqr(-(p/3)³) und cos(w) = -q/(2u) ist, und v die Werte 0, 120° und 240° annimmt. cos(w) = 0,8507186765776592 u = 32,24774008840336 y = 6,257927140299041 1 y = -4,140265660939531 2 y = -2,1176614793595117 3 Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht. r=-15,184115523465705 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung. Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen: x = 0,9211061802157022 1 x = 2,943710361795725 2 x = 11,319298981454278 3 Das sind also die 3 möglichen Lösungen für x. Jetzt vertausche ich die Achsen mit gleichen Werten wie oben (für Std.) und bekomme folgende Gleichung: y = 6,7799x^3 - 15,086x^2 + 9,3044x + 1,0094 mit R² = 1 Setzte nun die OD 0,8595 für x ein und erhalte für y: ~ 2,167 Dem am nächsten kommt der Wert für x2 ~ 2,944 So macht das keinen großen Unterschied aus, wenn ich diese Konzentrationen jedoch entlogarithmiere, so gibt es erhebliche Differenzen. Oder habe ich mich verrechnet? Vielen Dank! |
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| 29.05.2012, 16:31 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Erstens musst du die kubische Gleichung nicht unbedingt (exakt) mit Tartaglia lösen, hier genügt ein Näherungsverfahren wie z.B. Regula Falsi oder Newton. Üblicherweise erledigt dies ein CAS oder auch der Solver in Excel. Zweitens ist es fatal, wenn von der Kurve nur wenige Messwerte vorliegen, diese mit beliebigen Funktionstypen annähern zu wollen. In deinem Fall liegen 4 Wertepaare vor und du hast ein Polynom 3. Ordnung gewählt. Kein Kunststück, wenn sich dann eine Kurve mit R² = 1 ergibt, denn dieses Polynom ist ja durch diese 4 Punkte eindeutig bestimmt, es enthält aber nur diese 4 Punkte! Alle anderen (zwar nicht gegebenen, aber zu erwartenden) Punkte der Messreihe erfüllen NICHT dessen Funktionsgleichung! Somit gaukelt dir R² = 1 eine tolle Annäherung vor, die in Wirklichkeit aber gar nicht gegeben ist. Du hättest dies spätestens am Graphen der Trendlinie erkennen müssen, denn diese hat zwei Extremwerte und einen Wendepunkt, etc., sie ist also völlig ungeeignet, weil sie keineswegs dem erwarteten logarithmischen Verhalten der Messkurve folgt. Wer sagt also, dass die Trendfunktion eine - hier nicht geeignete - kubische Funktion sein muss? Was liegt also näher, als dass du eine logarithmische Trendfunktion auswählst? Diese nähert sich sehr zufriedenstellend den Gegebenheiten an. Anders ist dies bei der Umkehrfunktion, also bei der ursprünglich gegebenen. Dort könnte man eine exponentielle (!) Funktion (ln- und e-Funktionen sind Umkehrfunktionen zueinander) mit ähnlich gutem Bestimmtheitsmaß in Erwägung ziehen. mY+ |
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| 30.05.2012, 12:43 | Yassin | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für Deine Hilfe Mythos! |
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