DGL 4.0rdnung

29.05.2012, 13:35

Palais

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DGL 4.0rdnung

Hallo!
Wir sollen folgende DGL 4:Ordnung lösen,doch ich bin ein wenig überfordert mit der Aufgabe.

Kann mir einer eventuell mal ein wenig helfen,wie ich da vorzugehen habe?

Danke

y(4) + 2y(3)- 3y(2) - 8y(1) -4y = 0

Welche Losung y der Dierentialgleichung erfullt

integral von -unendlich bis 0 von y dx=1?

Danke euch und sorry für die komische Schreibweise ,aber ich habs anders irgendwie nicht hinbekommen.

29.05.2012, 13:53

HAL 9000

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Es geht um

$\begin{eqnarray*} y^{(4)} + 2y^{(3)} - 3y^{(2)} - 8y^{(1)} - 4y = 0 \end{eqnarray*}$ ,

erster Schritt wäre das Aufstellen der charakteristischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} \lambda^4 + 2\lambda^3 - 3\lambda^2 - 8\lambda - 4 = 0 \end{eqnarray*}$

und die Bestimmung von deren (reellen und ggfs. auch komplexen) Lösungen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

29.05.2012, 18:10

Palais

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So ich habe jetzt ein wenig ausgeklammert,weis aber nicht wie ich die Lösung dieser Gleichung bestimmen soll...wir hatten vorher nur Gleichungen mit maximal 2 Variablen ....

\lambda (\lambda ^3 +2\lambda ^2 -3\lambda -8)-4=0

\Rightarrow \lambda (\lambda (\lambda ^2+\lambda -3)-8)=4

29.05.2012, 18:12

Palais

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$\begin{eqnarray*} \lambda (\lambda ^3 +2\lambda ^2 -3\lambda -8)-4=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda (\lambda (\lambda ^2+\lambda -3)-8)=4 \end{eqnarray*}$

29.05.2012, 19:58

HAL 9000

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Irgendwie ist das nicht so ganz zielführend hinsichtlich der Bestimmung der Lösungen dieser Gleichung vierten Grades. Kleiner Tipp: Alle Nullstellen sind ganzzahlig, wie so oft bei Lehrbeispielen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.05.2012, 20:59

Mystic

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Weiterer Tipp, welcher das Leben oft sehr erleicht: Rationale Nullstellen von normierten Polynomen mit ganzen Koeffizienten sind stets sogar ganzzahlig und Teiler des konstanten Glieds... Augenzwinkern

Augenzwinkern

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30.05.2012, 19:22

Palais

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ok ich danke euch.....So habe jetzt Als eine Nullstelle N(0/-2) ausgerechnet....doch wie komme ich damit auf die Lösung der DGL,das wird mir noch nciht ganz klar....

31.05.2012, 09:54

Mystic

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Zitat:

Original von Palais
So habe jetzt Als eine Nullstelle N(0/-2) ausgerechnet...

Au weia, du hast da jetzt eine(!) von vier Nullstellen berechnet und selbst die ist falsch... Forum Kloppe

Forum Kloppe

Bevor es hier weitergeht soltest schon wenigstens vorher noch das mit den Nullstellen hinkriegen... geschockt

geschockt

31.05.2012, 20:21

Palais

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ah tut mir leid ...N(0/2) ist richtig oder?

31.05.2012, 20:22

Mystic

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Nein...

unglücklich

31.05.2012, 20:32

HAL 9000

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Ich muss die ganze Symbolik hinterfragen: Was soll dieses $\begin{eqnarray*} N(0/-2) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} N(0/2) \end{eqnarray*}$ überhaupt bedeuten, wenn nach Lösungen der obigen Gleichung gefragt ist? Diese Lösungen sind einfache reelle bzw. komplexe Werte (keine Punkte im zweidimensionalen Raum!) - wobei wir ja schon festgestellt hatten, dass es hier konkret nur reelle ganze Zahlen sind.

31.05.2012, 21:11

aphra

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Angenommen, ich hätte die Nullstellen gefunden (also: $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ = 2, $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ =-2, $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \lambda_4 \end{eqnarray*}$ = -1), wie hilft mir das?

31.05.2012, 21:15

Palais

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Ich meinte y1=2, y2=-2 ...entschuldigt für die falsche ausdrucksweise.....hab daselbe raus wie aphra

01.06.2012, 09:48

Mystic

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Zitat:

Original von aphra
Angenommen, ich hätte die Nullstellen gefunden (also: $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ = 2, $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ =-2, $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \lambda_4 \end{eqnarray*}$ = -1), wie hilft mir das?

Du bekommst für jede Nullstelle $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ mit der Vielfachheit $\begin{eqnarray*} \nu(\lambda_i) \end{eqnarray*}$ die Lösungen

$\begin{eqnarray*} e^{\lambda_i x},xe^{\lambda_i x},\ldots,x^{\nu(\lambda_i)-1}e^{\lambda_i x} \end{eqnarray*}$

und die allg. Lösung ist dann nur noch eine allg. Linearkombination von allen diesen...

@Palais

Zitat:

Original von Palais
Ich meinte y1=2, y2=-2 ...entschuldigt für die falsche ausdrucksweise....

Und schon wieder ist die Bezeichnung falsch... Das wird wohl nie was...Warum kopierst nicht wenigstens die Bezeichnungen von aphra? geschockt

geschockt

01.06.2012, 11:46

Palais

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Ich habe es kapiert nur erst geschrieben und dann gedacht Big Laugh

Big Laugh

01.06.2012, 11:48

Mystic

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Zitat:

Original von Palais
Ich habe es kapiert nur erst geschrieben und dann gedacht Big Laugh

Big Laugh

Ja, das Kommutativgesetz gilt für diese beiden Operatoren leider nicht... Big Laugh

Big Laugh

02.06.2012, 19:34

MarekFisch

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ok das mit den Nullstellen wäre jetzt geklärt....wie gehts denn nun weiter mit der Aufgabe??

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