Quotientenkriterium Grenzwert Beweis

29.05.2012, 14:14

25mgKoffein

Quotientenkriterium Grenzwert Beweis

Meine Frage:
Hallo.
Ich sollte Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz untersuchen. Ich hatte eine Aufgabe gegeben die ich mit dem Quotientenkriterium bearbeiten sollte.

Meine Ideen:
Nach dem Umformen hab ich folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} \frac{n^{n} }{(n+1)^{n} } \end{eqnarray*}$
Das müsste ja gegen 0 gehen. Also ist der Grenzwert 0, dass bedeutet ja bei dem Quotientenkriterium, dass die Folge konvergiert. Das einzige Problem was ich habe ist, dass ich nicht weiß wie ich mathematisch sagen soll, dass der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n} }{(n+1)^{n} } \end{eqnarray*}$ eben gleich 0 ist. Oder kann ich das einfach so hinschreiben?
Lieber Gruß

29.05.2012, 14:18

Valdas Ivanauskas

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RE: Quotientenkriterium Grenzwert Beweis

Zitat:

Original von 25mgKoffein
Das einzige Problem was ich habe ist, dass ich nicht weiß wie ich mathematisch sagen soll, dass der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n} }{(n+1)^{n} } \end{eqnarray*}$ eben gleich 0 ist. Oder kann ich das einfach so hinschreiben?

Weder einfach so hinschreiben - noch beweisen kannst Du das, denn der Grenzwert ist nicht 0.

Wie habt ihr denn die Zahl e definiert?

29.05.2012, 14:18

Iorek

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Warum sollte das gegen 0 gehen? verwirrt

Forme mittels Potenzgesetzen um und erinnere dich an den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\frac 1n\right)^n=e \end{eqnarray*}$ .

29.05.2012, 14:30

25mgKoffein

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Achso ok ich probier das mal.
Ich dachte, dass
$\begin{eqnarray*} n^{n} } \end{eqnarray*}$ immer kleiner ist wie $\begin{eqnarray*} (n+1)^n \end{eqnarray*}$ und dass deswegen es immer nähe an die 0 geht. *gg*
Vielen Dank ich melde mich wenn es geklappt hat.

29.05.2012, 14:52

25mgKoffein

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Mein Versuch es dahin umzustellen:
$\begin{eqnarray*} \frac{n^{n} }{(n+1)^{n} } = (\frac{n}{n+1}) ^{n} =<br /> (\frac{n}{n*(1+\frac{1}{n} )}) ^{n} = (\frac{1}{1+\frac{1}{n} }) ^{n} \end{eqnarray*}$
Aber irgendwie komm ich jetzt nicht weiter.
Habt ihr am Rande vllt. irgendwie einen Tipp wie ich sowas gut lernen kann?

29.05.2012, 15:09

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
erinnere dich an den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\frac 1n\right)^n=e \end{eqnarray*}$ .

Im Grunde hast du es jetzt schon fast da stehen.

29.05.2012, 15:16

25mgKoffein

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Ja ich komm nicht auf den letzten Schritt. Was wäre denn die Rechenregel dazu?

29.05.2012, 16:23

Iorek

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Das sind die (elementaren) Rechenregeln für Potenzen sowie eine Anwendung der Grenzwertsätze:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac {1}{1+\frac 1n}\right)^n=\frac {(1)^n}{(1+\frac 1n)^n} \end{eqnarray*}$

29.05.2012, 16:42

25mgKoffein

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Ja das hatte ich ja auch schon so.
Wie mann auf die 1 kommt kann ich mir auch vorstellen, wenn n gegen unendlich geht ist es 1/1+0 = 1 ich komme nur beim besten WIllen nicht drauf, wie man auf das 1/n kommt.

29.05.2012, 17:22

25mgKoffein

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Ah jetzt hab ichs verstanden hoffe ich mal. Mann kann das gar nicht komplett umformen oder ? Also ich mache aus dem Nenner das e. Weil es so definiert ist. Also ist mein Grenzwert 1/e.
Liege ich jetzt richtig.

29.05.2012, 18:45

Iorek

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Ja, das ist jetzt richtig.

29.05.2012, 22:07

25mgKoffein

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Supi

Ich dachte die ganze Zeit man muss das kürzen, ausklammern etc. bis man das was im Limes steht hat. Naja da hätte ich ja lange probieren können smile

Danke nochmal.

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