Konv. p-tes Mittel --> stoch. Konv.

29.05.2012, 15:50	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Konv. p-tes Mittel --> stoch. Konv. Meine Frage: Moin, ich würd gerne beweisen, daß aus der Konvergenz im p-ten Mittel die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit folgt, d.h. Es seien $\begin{eqnarray} X, X_n\colon (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})), n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ Zufallsvariablen und sei $\begin{eqnarray} p>0 \end{eqnarray}$ derart, daß $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\mathbb{E}\left[\vert X_n-X\vert^{p}\right]=0 \end{eqnarray}$ . Zeige, daß dann auch $\begin{eqnarray} X_n\to X \end{eqnarray}$ in Wahrscheinlichkeit, d.h. $\begin{eqnarray} \forall~\varepsilon >0: \lim_{n\to\infty}\mathbb{P}\left(\vert X_n-X\vert\ >\varepsilon\right)=0 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Naja, ich würde sagen, man kann die Markov-Ungleichung wohl ganz gut gebrauchen für den Beweis, die sagt: $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(\vert Z\vert >\varepsilon)\leq\frac{\mathbb{E}(\vert Z\vert^{r})}{\varepsilon^{r}} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} Z\colon \Omega\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine Zufallsvariable mit $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(\vert Z\vert^{r})<\infty \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} r\geq 1 \end{eqnarray}$ ist. Kann ich nicht $\begin{eqnarray} Z:=X_n-X \end{eqnarray}$ definieren? Ist's das dann nicht schon?
30.05.2012, 15:34	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konv. p-tes Mittel --> stoch. Konv. Ja.
30.05.2012, 15:39	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konv. p-tes Mittel --> stoch. Konv. Danke, Zündholz. Dann war das ja relativ einfach.

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