Integration von Produkten

29.05.2012, 16:21

Skywalker077

Integration von Produkten

Meine Frage:
Guten Tag,

Ich hoffe das passt in die Schulmathematik obwohl die Frage im 2. Semester des Elektrotechnik Studiums auftaucht.

Es geht mir um die Integration von Produkten.
Dazu kenne ich jetzt zwei Regeln:
-die Partielle Integration
-Integration durch Substitution

Ich stoße bei dem Thema immer wieder auf meine Grenze, grade jetzt wo die Laplace-Transformation dran ist.

Ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \sin(x) \cdot e^{x} \end{eqnarray*}$

Solche Funktionen im Integral brechen mir momentan das Kreuz.
Mir ist bewusst das es für die Laplace Tabellen gibt, aber ich würde gerne solche Funktionen von Hand rechnen können, bevor ich da stehe und eine nicht im Buch steht.

Meine Ideen:
Hierdrauf die Partielle anzuwenden ist sinnfrei, da es zu keinem Grundintegral führen wird.
Also kann es sich ja nur um die Substitution handeln.
Allerdings weiß ich keinen Ansatz dafür...

29.05.2012, 16:24

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integration von Produkten

Zitat:

Original von Skywalker077
Hierdrauf die Partielle anzuwenden ist sinnfrei, da es zu keinem Grundintegral führen wird.

Das ist überhaupt nicht sinnfrei. Aber einmal partiell integrieren reicht nicht. Zwei mal partiell integrieren, dann sollte dir was auffallen. Augenzwinkern

Und ja, solche Integrale sind reiner Schulstoff. Insofern passt das hier wohl.

29.05.2012, 16:28

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integration von Produkten
Du kannst auch für die Stammfunktion den Ansatz

$\begin{eqnarray*} F(x)=(A \sin x+B \cos x)e^x \end{eqnarray*}$

machen und aus F'(x)=f(x) die Konstanten A und B bestimmen... Der "natürliche" Weg ist hier aber schon partielle Integration...

29.05.2012, 16:31

chris95

Auf diesen Beitrag antworten »

Bringt komplexifizierung vom Sinus eig auch was?

29.05.2012, 17:12

Saturas077

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integration von Produkten

Zitat:

Original von Mulder
Das ist überhaupt nicht sinnfrei. Aber einmal partiell integrieren reicht nicht. Zwei mal partiell integrieren, dann sollte dir was auffallen. Augenzwinkern

Ich habe jetzt das mal gemacht.

$\begin{eqnarray*} f(x)=-e^x \cdot \cos(x)+e^x \cdot \sin(x) -\int \! e^x \cdot \cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Allerdings habe ich weiterhin kein Grundintegral

29.05.2012, 17:20

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integration von Produkten
Richtig ist ja auch

$\begin{eqnarray*} \int f(x)\, dx=-e^x \cdot \cos(x)+e^x \cdot \sin(x) -\int \! e^x \cdot \sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Und ich hoffe, damit sollte dann alles klar sein... Augenzwinkern

29.05.2012, 17:27

Saturas077

Auf diesen Beitrag antworten »

Momentmal!

Mit alles klar meinst du, das dies jetzt die Stammfunktion ist?
Ich habe das aus Spaß mal abgeleitet und dann komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot e^x \cdot \sin(x) \end{eqnarray*}$

Ich habe dabei allerdings das Integral nicht beachtet. Klärt mich einer auf bitte?

29.05.2012, 17:38

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} {\color{red} \int e^x \cdot \sin(x) ~\dd x} = -e^x \cdot \cos(x) + e^x \cdot \sin(x) - {\color{red} \int e^x \cdot \sin(x) ~\dd x} \end{eqnarray*}$

Was war es doch gleich, was du berechnen wolltest? verwirrt

29.05.2012, 18:09

Saturas077

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah!
Okay, ich ziehe das Integral rüber und dann durch zwei =)

Das habe ich dann jetzt versucht auf meine derzeitige Aufgabe diekt anzuwenden, allerdings scheiter ich direkt wieder.

Ich hoffe habe alles richtig geschrieben.
$\begin{eqnarray*} \int \! cos(2t)*e^{-(s-1)\cdot t} \, dt = \int \! cos(2t)*e^{-(s-1)\cdot t} \, dt \\ \int \! cos(2t)*e^{-(s-1)} \cdot t \, dt = e^{-(s-1)} \cdot \frac{1}{2} \sin(2t) +(s-1) \int \! e^{-(s-1)} \, dt \\ \int \! cos(2t)*e^{-(s-1)} \cdot t \, dt = e^{-(s-1)} \cdot \frac{1}{2} \sin(2t) +(s-1) \cdot -(s-1)e^{-(s-1)} \cdot (-\frac{1}{4}\cos(2t)) - \int \! -(s-1)e^{-(s-1)} \cdot -\frac{1}{4}cos(2t) \, dt \\ \int \! cos(2t)*e^{-(s-1)} \cdot t \, dt = e^{-(s-1)} \cdot \frac{1}{2} \sin(2t) -(s-1)^{2}e^{-(s-1)} \cdot (-\frac{1}{4}\cos(2t)) - \int \! -(s-1)e^{-(s-1)} \cdot -\frac{1}{4}cos(2t) \, dt \\ \end{eqnarray*}$

Wo verhaue ich mich?

29.05.2012, 18:36

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich find's schon mal ziemlich bedenklich, dass bei dir das $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ aus dem Exponenten nach unten wandert, und dann ganz verschwindet. Genauso wie das $\begin{eqnarray*} \sin(2t) \end{eqnarray*}$ gleich im ersten partiellen Integrationsschritt auch aus dem Restintegral "wegdiffundiert" - wohin nur???

Alles in allem ein äußerst schlampiger Aufschrieb, über den es sich kaum lohnt, im einzelnen zu diskutieren, bevor nicht kräftig ausgebessert wird.

29.05.2012, 23:01

Saturas077

Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir leid, ich habe das im TexnicCenter geschrieben, aber in einer align Umgebung.

Hoffe jetzt ist es richtiger! Allerdings löst sich das so noch immer nicht auf =(

$\begin{eqnarray*} \int \! \cos(2t) \cdot e^{-(s-1)} \cdot t \, dx \\ = e^{-(s-1)} \cdot \frac{1}{2} \sin(2t) - \int \! -(s-1)e^{-(s-1)} \cdot -\frac{1}{2} \sin(2t) \, dx \\ = e^{-(s-1)} \cdot \frac{1}{2} \sin(2t) + (s-1) \cdot \int \! e^{-(s-1)} \cdot \frac{1}{2} \sin(2t) \, dx \\ = e^{-(s-1)} \cdot \frac{1}{2} \sin(2t) + (s-1) \cdot (-(s-1)) \cdot e^{-(s-1)} \cdot -\frac{1}{4} \cos(2t) \cdot -\int \! -(s-1)e^{-(s-1)} \cdot \frac{1}{4} \cos(2t) \, dx \end{eqnarray*}$

30.05.2012, 15:55

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie war mein Einwurf wohl für die Katz. Wenn auch einiges verbessert wurde, so ist anderes sogar schlimmer geworden: Aus dem $\begin{eqnarray*} \dd t \end{eqnarray*}$ ist plötzlich ein $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ geworden??? Das $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} e^{-(s-1)t} \end{eqnarray*}$ hast du jetzt konsequent ausradiert, na toll.

Alles in allem ein Desaster.

P.S.: Im übrigen sollte man sowas wie $\begin{eqnarray*} a\cdot -b \end{eqnarray*}$ nicht schreiben, sondern im Fall von solchen eingeschobenen Vorzeichen den betreffenden Term immer einklammern, d.h. $\begin{eqnarray*} a\cdot (-b) \end{eqnarray*}$ :

Von $\begin{eqnarray*} a\cdot -b \end{eqnarray*}$ bis zur Weglassung des eigentlich ja überflüssigen Multiplikationszeichens ist ja nur ein kleiner Schritt, und prompt landet man beim falschen $\begin{eqnarray*} a-b \end{eqnarray*}$ ... geschockt

Neue Frage »

Antworten »

Integration von Produkten

Verwandte Themen