Unkorreliert und doch nicht unabhängig

29.05.2012, 19:24

Bembelfee

Unkorreliert und doch nicht unabhängig

Meine Frage:
Hallo,
ich soll folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} X=\left(X_{1},X_{2}\right) \end{eqnarray*}$ sei uniform verteilt auf {(-1,0),(1,0),(0,1),(0,-1)}. Zeigen Sie:
i) $\begin{eqnarray*} X_{1},X_{2} \end{eqnarray*}$ sind korreliert, aber nicht unabhängig.
ii) $\begin{eqnarray*} X_{1}-X_{2},X_{1}+X_{2} \end{eqnarray*}$ sind unabhängig.

Meine Ideen:
Zu i): Ist eine Zufallsvariable unkorreliert, dann muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} Cov\left[X_{1},X_{2}\right]=0 \end{eqnarray*}$ ist. Um zu zeigen, dass die Variablen nicht unabhängig sind, genügt es in einem Fall zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} P\left(X_{1}\right)*P\left(X_{2}\right) \neq P\left(X_{1}\cap X_{2}\right) \end{eqnarray*}$ ist.

Ich habe irgendwie ein großes Problem damit die Kovarianz auszurechnen. Ich weiß nicht so genau, was ich wie einsetze und verrechne...

Zum 2. Teil von i): Die Variablen $\begin{eqnarray*} X_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{2} \end{eqnarray*}$ können jeweils die Werte -1, 0 und 1 annehmen. Die Einzelwahrscheinlichkeiten sind doch dann $\begin{eqnarray*} P\left(X_{1}\right)=P\left(X_{2}\right)=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} P\left(X_{1}\right)*P\left(X_{2}\right)=\frac{1}{9} \end{eqnarray*}$ . Stimmt das so? Was genau ist denn dann jetzt die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P\left(X_{1}\cap X_{2}\right) \end{eqnarray*}$ .

Ich bin da ein bisschen durch den Wind und würde mich freuen, wenn mir jemand mit Rat und Tat zur Seite stehen könnte.

Vielen Dank...

29.05.2012, 19:37

Bembelfee

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RE: Unkorreliert und doch nicht unabhängig
Nachtrag:

Wenn ich $\begin{eqnarray*} P\left(X_{1} \cap X_{2}\right) \end{eqnarray*}$ berechnen möchte, dann schaue ich mir an wieviele möglich Ausgänge es gibt. Und das sind hier ja 4 Stück. Die Wahrscheinlichkeit also in einem der 4 Augänge zu landen ist dann $\begin{eqnarray*} P\left(X_{1} \cap X_{2}\right) = \frac{1}{4} \neq \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ . Somit sind $\begin{eqnarray*} X_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{2} \end{eqnarray*}$ nicht unabhängig.

Ist das so korrekt?

29.05.2012, 19:42

HAL 9000

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Deine Symbolik ist mehr als befremdlich - anscheinend verwechselst du Ereignisse und Zufallsgrößen, anders kann ich mir so ein im hiesigen Kontext unsinnige Symbolik wie $\begin{eqnarray*} P(X_1\cap X_2) \end{eqnarray*}$ nicht erklären. unglücklich

Zur Kovarianzberechnung: Allgemein ist

$\begin{eqnarray*} E(g(X_1,X_2)) = \sum_{i,k} g(i,k)\cdot P(X_1=i,X_2=k) \end{eqnarray*}$ ,

das gilt sowohl für

$\begin{eqnarray*} g(i,k)=i\cdot k \quad\Rightarrow\quad E(X_1X_2) = \sum_{i,k} i\cdot k\cdot P(X_1=i,X_2=k) \end{eqnarray*}$

als auch

$\begin{eqnarray*} g(i,k)=i \quad\Rightarrow\quad E(X_1) = \sum_{i,k} i\cdot P(X_1=i,X_2=k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(i,k)=k \quad\Rightarrow\quad E(X_2) = \sum_{i,k} k\cdot P(X_1=i,X_2=k) \end{eqnarray*}$ ,

und dann ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{cov}(X_1,X_2) = E(X_1X_2)-E(X_1)E(X_2) \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Voraussetzung

Zitat:

Original von Bembelfee
$\begin{eqnarray*} X=\left(X_{1},X_{2}\right) \end{eqnarray*}$ sei uniform verteilt auf {(-1,0),(1,0),(0,1),(0,-1)}.

ist so zu lesen: Auf jeden der vier Punkte liegt die gleiche Wkt, also jeweils 1/4, d.h.

$\begin{eqnarray*} P(X_1=-1,X_2=0) = P(X_1=1,X_2=0) = P(X_1=0,X_2=1) = P(X_1=0,X_2=-1) = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ .

29.05.2012, 20:30

Bembelfee

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Hallo HAL 9000,

danke für Deine schnelle Antwort.

Bildet man die einzelnen Erwartungswerte $\begin{eqnarray*} E\left[X_{1}\right] \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} E\left[X_{2}\right] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E\left[X_{1}X_{2}\right] \end{eqnarray*}$ mittels der Doppelsummen dann erhalte ich jeweils den Wert 0. Somit ergibt sich für die Kovarianz $\begin{eqnarray*} cov\left(X_{1},X_{2}\right) = 0-0*0 = 0 \end{eqnarray*}$ . Also sind $\begin{eqnarray*} X_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{2} \end{eqnarray*}$ unkorreliert.

Um die Unabhängigkeit zu zeigen bzw. nicht zu zeigen, hatte ich schon etwas im Nachtrag geschrieben, aber hier jetzt (hoffentlich) noch mal die korrekte Schreibweise...

Für den Fall $\begin{eqnarray*} X_{1}=-1, X_{2}=0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} P\left(X_{1}=-1\right) = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P\left(X_{2}=0\right) = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P\left(X_{1}=-1, X_{2}=0\right) = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow P\left(X_{1}=-1\right) * P\left(X_{2}=0\right) = \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \neq P\left(X_{1}=-1, X_{2}=0\right) = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Da bereits im ersten Fall gezeigt wurde, dass $\begin{eqnarray*} X_{1}, X_{2} \end{eqnarray*}$ nicht unabhängig sind, brauche ich das für die restlichen Fälle nicht mehr zeigen.

Im ii) Teil der Aufgabe verfahre ich doch wie oben, nur das ich hier für alle vier Fälle die Unabhängigkeit zeigen muss. Ich bekomme dann für die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P\left(X_{1}-X_{2},X_{1}+X_{2}\right) = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} P\left(X_{1}-X_{2}\right)P\left(X_{1}+X_{2}\right) = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ . Die sind beide gleich und somit ist dann auch die Unabhängigkeit gezeigt.

29.05.2012, 22:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bembelfee
$\begin{eqnarray*} P\left(X_{1}=-1\right) = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P\left(X_{2}=0\right) = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du nur auf diese Werte, bei einer "Grobstückelung" des W-Raumes in 1/4-Brocken - das ist völlig absurd. unglücklich

Richtig an der Stelle ist

$\begin{eqnarray*} P\left(X_{1}=-1\right) = P\left(X_{1}=-1,X_{2}=0\right) = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P\left(X_{2}=0\right) = P\left(X_{1}=-1,X_{2}=0\right) + P\left(X_{1}=1,X_{2}=0\right) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

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