Anzahl von Nullstellen in einem Intervall

29.05.2012, 19:41

misterfopper

Anzahl von Nullstellen in einem Intervall

Hallo,

ich habe eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x³ + 3x + b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig.

Nun möchte ich zeigen, dass f keine zwei Nullstellen im Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ besitzt.

Mir ist es offensichtlich, dass f im nur eine Nullstelle f(x) = 0 haben kann und zwar genau dann, wenn x=0 und b=0. Aber wie kann ich das jetzt zeigen?

Mit der Definition für ein lokales Extremum?
Diese besagt, ja: $\begin{eqnarray*} f: [-1,1] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{0} \in (a,b) \end{eqnarray*}$ sei ein lokales Extremum. Dann gilt: Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, dann ist $\begin{eqnarray*} f'(x_{0}) = 0 \end{eqnarray*}$ .

29.05.2012, 19:53

Leopold

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Hier geht es etwas durcheinander.
Für $\begin{eqnarray*} |b| \leq 4 \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau eine Nullstelle im Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} |b| > 4 \end{eqnarray*}$ keine.
Zum Beweis überlege dir, welche Informationen dir die Ableitung $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ gibt. Kombiniere das mit dem Zwischenwertsatz.

29.05.2012, 20:56

misterfopper

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Meinst du den Mittelwertsatz?

Wenn $\begin{eqnarray*} f: [a,b] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig und diffbar in (a,b), dann existiert ein $\begin{eqnarray*} x_{0} \in (a,b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(x_{0} = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$ .

...irgendwie hilft mir das nichts Hammer

29.05.2012, 21:12

Bjoern1982

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Nein, er meinte das, was er gesagt hat. Augenzwinkern

Solche Nullstellenbeweise sind ja klassisch für den Zwischenwertsatz.
Also schlag das nochmal nach oder benutze google.
Zudem berücksichtige auch den wichtigen Hinweis über die 1. Ableitung.

29.05.2012, 22:39

misterfopper

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Geht das auch ohne Zwischenwertsatz? Hab in der Vorlesung noch nichts davon gehört.

Falls nicht: Ich müsste beim Zwischenwertsatz die Werte einfügen und einen VZW beobachten. Dann müsste ich noch zeigen, dass f im Intervall monoton ist, oder?

29.05.2012, 22:55

Bjoern1982

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Ja, das klingt gut.
Im Endeffekt brauchst du den Zwischenwertsatz m.E. auch nicht unbedingt.
Mach mal mit der Monotonie weiter und sag, was du da erhälst.
Dann überlege nochmal was passieren müsste, damit zwei Nullstellen in einem Intervall vorliegen und warum das hier eben nicht passieren kann.

30.05.2012, 10:37

misterfopper

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Zitat:

Original von Leopold
Hier geht es etwas durcheinander.
Für $\begin{eqnarray*} |b| \leq 4 \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau eine Nullstelle im Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} |b| > 4 \end{eqnarray*}$ keine.
Zum Beweis überlege dir, welche Informationen dir die Ableitung $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ gibt. Kombiniere das mit dem Zwischenwertsatz.

..aber wo ist da jetzt die Nullstelle (hier bspw. für b = 3)

EDIT:

Entschuldige, die Aufgabe oben ist falsch, es soll heißen

f(x) = x³ -3x + b

30.05.2012, 13:58

Leopold

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Das ist immer enorm lustig. Es sind schon einige Beiträge hin- und hergegangen, und da kommt der Fragesteller: Ätsch, 's ist eine andere Aufgabe!

Glücklicherweise läßt sich der Lösungsgedanke (Monotonieverhalten kombiniert mit Zwischenwertsatz) retten. Allerdings ist jetzt $\begin{eqnarray*} |b| \leq 2 \end{eqnarray*}$ der interessante Bereich.

30.05.2012, 16:32

misterfopper

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Ich versuch's mal...

f ist als Komposition stetiger Funktion wieder stetig.

Einsetzen der Intervallgrenzen:
$\begin{eqnarray*} f(-1) = -2 + b \leq 0 \forall b \leq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(1) = 4 + b \end{eqnarray*}$

Hieran sehe ich nun den besagten Vorzeichenwechsel für alle $\begin{eqnarray*} b \leq 2 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} b > 2 \end{eqnarray*}$ gibt es diesen nicht, folglich gibt es im Intervall [-1,1] keine Nullstelle(n) dafür.

Jetzt bilde ich die Ableitung von f

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x² - 3 \leq 0 \forall x \in \left[-1,1\right] \end{eqnarray*}$

und erkenne für die Werte des Intervalls, dass die Funktion monoton fällt, und es somit nur eine Nullstelle gibt.

30.05.2012, 16:47

Leopold

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Einmal etwas richtig ausrechnen ... nur einmal bitte! $\begin{eqnarray*} f(-1),f(1) \end{eqnarray*}$ stimmen nicht.

Ich würde mit der Monotonie anfangen:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3 \cdot \left( x^2 - 1 \right) < 0 \ \ \mbox{für} \ \ |x| < 1 \end{eqnarray*}$

Daher ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} I = [-1,1] \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend und besitzt daher höchstens eine Nullstelle.

Wenn nun $\begin{eqnarray*} f(-1) \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(1) \leq 0 \end{eqnarray*}$ sind, dann besitzt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ genau eine Nullstelle.

Wenn dagegen $\begin{eqnarray*} f(-1) < 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(1) > 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann besitzt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle.

Die letzten zwei Aussagen kannst du sofort in Aussagen über $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ übersetzen. Dazu müssen aber $\begin{eqnarray*} f(-1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ richtig ausgerechnet werden.

30.05.2012, 17:20

misterfopper

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Autsch! Dumm, wenn man die Vorzeichen schon nicht mehr auf die Reihe bekommt.

Hab's jetzt verstanden. Vielen Dank für Deine Geduld!!!

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