Ringintegral

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27.01.2007, 20:26	wippn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ringintegral Hallo! Mein Problem ist die Berechnung eines Volumens. Die Funktion ist ein Viertelkreis. Denke mal diese Gleichung sollte ich nehmen. $\begin{eqnarray} y=\sqrt{r^{2}-x^{2} } \end{eqnarray}$ Der Kreis abschnitt sollte oberhalb der x Achse liegen also $\begin{eqnarray} y\geq 0 \end{eqnarray}$ und die Grenzen bei Radius 5 von 3 bis 5 gehen. Ok also Integral nach x von 3 bis 5. Wobei ich schon da zum falschen Ergebnis komme. Die sich daraus ergebende Fläche möchte ich um eine Rotationachse drehen lassen, um das Volumen zu errechnen. Die Rotationsachse liegt allerdings bei x=-10. Wie muss ich nun die Gleichung Integrieren um die Rotationsachse zu versetzen? Einfach mal 2Pi geht ja nicht, weil ich da um y drehe! Hoffentlich kann mir jemand helfen! Danke
27.01.2007, 20:46	brain man	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{\pi\int_{b}^{a}~f(x)^2~dx }{4} \end{eqnarray*}$ sollte auch gehen...
27.01.2007, 20:59	wippn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Brain Man! Leider geht die Formel nicht, da der Versatz der Rotationsachse nicht dabei ist. Die Grenzen a und b beziehen sich auf das erste Koordinatensys der Kreisgleichung. Meinst du mit $\begin{eqnarray} f(x)^{2} \end{eqnarray}$ =y ? Dann meinst du bestimmt ich kann die Wurzel weglassen?
27.01.2007, 22:57	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo wippn! Der ringförmige Körper, den du hier hast, ist eine Art Torus. Dabei ist der Querschnitt aber kein Kreis, sondern das "Kuchenstück", das du beschrieben hast. Ich würde die Rechnung nicht in kartesischen Koordinaten $\begin{eqnarray} (x,y,z) \end{eqnarray}$ machen, sondern mit $\begin{eqnarray} (r,\phi ,\psi ) \end{eqnarray}$ . Es egäbe sich folgende Koordinatentransformation: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (r + \rho cos\psi ) cos \phi \\ \rho sin\psi \\ (r + \rho cos\psi ) sin \phi \end{pmatrix} ,\,\,r = 10 \end{eqnarray}$ Integrationsgrenzen: $\begin{eqnarray} 0\leq \rho \leq 5,\,\, 0 \leq \psi \leq arctan (\frac{4}{3}) ,\,\,0 \leq \phi \leq 2\pi \end{eqnarray}$ Vorerst ohne Gewähr! Ich müsste das Ganze noch einmal sauber durchdenken. Wenn du willst, mach ich mir die Mühe. Gruss yeti
28.01.2007, 10:01	wippn	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke yeti777! Ich werde es mal testen (wenn ich es hinbekomme), wäre aber nett wenn du es auch mal probierst! Danke
28.01.2007, 10:55	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo wippn! Ich habe mich gerade erst eingeklinkt, um nachzusehen, ob dein Interesse noch vorhanden ist. OK, soll gelten. Ich mach mich auf die Socken (obwohl draussen ein Superschnee liegt und die Sonne scheint). Melde mich wieder, wenn ich's hab. NB. Ich weiss, dass es eine fertige Formel für Rotationskörper gibt, die mit kartesischen Koordinaten arbeitet. Aber die will ich jetzt nicht nachschlagen. Mir gefällt die Parameterdarstellung generell besser. Gruss yeti
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28.01.2007, 12:50	wippn	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe mal ein Bild angehängt, nicht das mich jemand falsch versteht. Die Fläche A soll sich um Y drehen. Dadurch entsteht das gesuchte Volumen. Die Fläche kann ich auch über den Kreisabschnitt ausrechnen und dann das Dreieck abziehen. Wenn ich nun die Fläche hab, muss ich sie ja nur noch drehen lassen? Ach und Yeti, ich komme absolut nicht mit deiner Version zurecht! Kann es sein, das du mich falsch verstanden hast?
28.01.2007, 12:54	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo wippn! Sei $\begin{eqnarray} T: \begin{pmatrix} \rho \\ \psi \\ \phi \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} x(\rho ,\psi ,\phi ) \\ y(\rho ,\psi ,\phi ) \\ z(\rho ,\psi ,\phi ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (r + \rho cos(\psi ) ) cos (\phi ) \\ \rho sin(\psi ) \\ (r + \rho cos( \psi ) ) sin (\phi ) \end{pmatrix} ,\,\,r = 10 \end{eqnarray}$ die Transformation von Toruskoordinaten auf kartesische Koordinaten. Funktionalmatrix von T: $\begin{eqnarray} J = \begin{pmatrix} cos(\phi ) & -\rho sin(\psi )cos(\phi ) & - (r + \rho cos(\psi ))sin(\phi ) \\ 0 & \rho cos(\psi ) & 0 \\ sin(\phi ) & -\rho sin(\psi )sin(\phi ) & (r + \rho cos(\psi ))cos(\phi ) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Funktionaldeterminante: $\begin{eqnarray} det(J)= \rho cos(\psi ) (r + \rho cos (\psi ))= \rho cos(\psi ) (10 + \rho cos (\psi )),\,\,r = 10 \end{eqnarray}$ Gemäss dem Transformationssatz für Integrale gilt: $\begin{eqnarray} \int~d\sigma (x,y,z) = \int~ \mid det(J) \mid d\rho d\psi d\phi = \int_{0}^{2\pi }~\int_{0}^{arctan(\frac{4}{3} )}~\int_{0}^{5}~ \mid \rho cos(\psi ) (10 + \rho cos (\psi )) \mid d\rho d\psi d\phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \pi (220+ \frac{125}{3} arctan\frac{4}{3} )\approx 812.5330 \end{eqnarray}$ Vielleicht doch einfacher mit kartesischen Koordinaten . Gruss yeti Edit: Ich sehe gerade, dass du eine Zeichnung angehängt hast. Ich bin von derselben Skizze ausgegangen. Beachte aber, dass ich nur über den halben Winkel integriert habe. Wegen der Symmetrie ist daher mein Resultat zu verdoppeln. Hast du die fertige Lösung? Würde mich interessieren, ob ich richtig gerechnet habe.
28.01.2007, 13:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man das ein bißchen anders ins Koordinatensystem legt (Rotation um die x-Achse), läuft es auf $\begin{eqnarray} 2 \pi \int_0^4~\left( 10 + \sqrt{25 - x^2} \right)^2~\mathrm{d}x - 2 \pi \int_0^4~13^2~\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ hinaus.
28.01.2007, 13:24	wippn	Auf diesen Beitrag antworten »
@Yeti777 Also ich habe es mir mal in einem Konstruktionsprogramm berechnen lassen komme aber auf 485mm³! Komisch aber ich denke nicht, das ProE einen Fehler macht! @Leopold Hallo Leo ich werde es gleich mal testen!
28.01.2007, 14:22	wippn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok angenommen 10 = Versatz = V, 5 = r, 4 = h und 13 = a. Dann lautet deine Formel: $\begin{eqnarray} 2\pi\int_{0}^{h}~(V+\sqrt{r^{2}-x^{2}})^{2} ~dx-2\pi\int_{0}^{h}~a^{2} ~dx \end{eqnarray}$ Nach dx integriert kommt raus: $\begin{eqnarray} 2\pi( V^{2}x+\frac{1}{2} (x(\sqrt{r^{2}-x^{2}})+r^{2} \arcsin(\frac{x}{r} ) )+r^{2}x- \frac{1}{3} x^{3} ) - 2\pi a^{2}x \end{eqnarray}$ Dann setze ich x = h und fertig oder? Glaube da ist ein Fehler drin?
28.01.2007, 14:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Statt des Faktors $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ brauchst du wohl den Faktor $\begin{eqnarray} 10 \end{eqnarray}$ . Ansonsten stimmt es.
28.01.2007, 15:05	wippn	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendetwas haut aber noch nicht ganz hin! Mit Faktor 10 komm ich auf 82970mm³, mit Faktor 0,5 komm ich auf 2970 mm³? Komisch
28.01.2007, 15:16	wippn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, laut ProE kommt 485 mm³ raus, für den Ring. Mit Zylinder, kommt 2609 mm³ raus. Ich dreh noch durch, sitze schon seit zwei Tagen an dieser Aufgabe! Kann man nicht auch, wenn man die Fläche hat (über Kreisabschnitt-übriges Dreieck) nur noch mit einem Versatz rotieren lassen und so auf ein Volumen kommen?
28.01.2007, 18:44	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo wippn! Nach dem Lesen der obigen Beiträge habe ich das mulmige Gefühl, dass ich die Aufgabe falsch aufgefasst habe. Siehe Skizze im Anhang! Welches Integrationsgebiet, a) oder b) oder noch was anderes? Berechnet habe ich das Volumen für a). Weil da 2 rotatorische Bewegungen drin sind, habe ich die verallgemeinerten Zylinderkoordinaten gewählt. Eigentlich sollte für solche Aufgabenstellungen immer eine Skizze mitgeliefert werden, von allem Anfang an. Das soll kein Vorwurf sein. Ich hätte auch nachfragen können. Wenn du meine Frage beantwortet hast, werde ich mich gerne noch einmal mit der Aufgabe befassen. Wie sehr eilt es denn? Gruss yeti
28.01.2007, 21:03	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo wippn! Ich habe mal Fall b) durchgrechnet. Dabei habe ich die Idee von Leopold übernommen (Danke Leopold!). Siehe Skizze im Anhang. $\begin{eqnarray} A_1:=\pi \int_{-4}^{0}~((R + \sqrt{r^2-x^2} )^2-(R + y_0)^2~dx= \pi \int_{-4}^{0}~((10 + \sqrt{5^2-x^2} )^2-(10 + 3)^2~dx= \pi (250\,\, arcsin (\frac{4}{5}) -\frac{232}{3} ) \approx 485.346 \end{eqnarray*}$ . Gruss yeti
29.01.2007, 11:32	wippn	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen! Ich habe jetzt mal eine Zeichnung hochgeladen. Hoffe man wird daraus schlau. Es soll ein Druckkessel werden, wenn ich es um die X-Achse rotieren lasse. Ich möchte den Durchmesser ändern. Das volumen soll jedoch im Kessel gleich bleiben, wodurch sich die Höhe "H Zyl" auch ändern soll. Da R und r jeweils von D abhängig sind, muss ich nur noch die Volumenformeln addieren und dann nach dem einzigen h (H Zyl) umstellen um bei gleichbleibendem Volumen ein anderes Durchmesser - Längen- Verhältniss zu bekommen. Wie gesagt, ich bekomme schon jedes V raus, bis auf das V2.2! Und nein eilt eigentlich nicht!
29.01.2007, 11:47	wippn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Yeti777! Auf deiner Zeichnung ist das Problem schon richtig dargestellt. Allerdings komme ich nach dem Integrieren und ausrechnen nicht auf das Volumen (485). Ich weiß auch nicht warum ich anstelle des Faktors 0,5 die 10 nehmen sollte! Aber richtig integriert ist es doch oder? $\begin{eqnarray} \pi( V^{2}x+\frac{1}{2} (x(\sqrt{r^{2}-x^{2}})+r^{2} \arcsin(\frac{x}{r} ) )+r^{2}x- \frac{1}{3} x^{3} ) - \pi a^{2}x \end{eqnarray}$
29.01.2007, 11:55	wippn	Auf diesen Beitrag antworten »
Uupps! Verdammt danke Jungs! Da habe ich wohl nen Tippfehler gemacht! Danke Danke! PS: Euer Forum ist Spitze!
29.01.2007, 12:08	wippn	Auf diesen Beitrag antworten »
Yeti, kannst du bitte noch mal die fertig Integrierte Formel posten? Ich komm nich drauf! Danke
29.01.2007, 13:51	wippn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok Danke habs selbst raus bekommen!
29.01.2007, 19:04	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo wippn! Ich bin nicht sicher, ob jetzt noch Fragen offen sind . Ist dir klar, dass Leopold auf Zylinderkoordinaten transformiert hat? Zylinderscheibe mit der Torusoberfläche als Aussenhaut: $\begin{eqnarray} V_1= \int_{V}~d\sigma (x,y,z) = \int_{V'}~d\sigma (r,\phi ,z) = \int_{V'}~d\sigma (y,\phi ,x) \text { (damit die Bezeichnungen mit der Skizze übereinstimmen) } \end{eqnarray}$ Transformation kartesisch -> zylindrisch: $\begin{eqnarray} V_1= T: \begin{pmatrix} r \\ \phi \\ z \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \text { mit der Funktionaldeterminante } r \text { resp. } y \text{ ergibt }: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V_1= \int_{V'}~d\sigma (y,\phi ,x)= \int_{0}^{2\pi }~\int_{-4}^{0}~\int_{0}^{R+ \sqrt{r^2-x^2}}~y~dy~dx~d\phi = 2\pi \int_{-4}^{0}~ \frac{1}{2} (R+\sqrt{r^2-x^2} )^2~dx= \pi \int_{-4}^{0}~ (R+\sqrt{r^2-x^2} )^2~dx \end{eqnarray}$ . Soweit klar? Wenn du noch Fragen hast, nur zu! Gruss yeti

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