Exakte DGL, Anfangswertproblem eindeutig lösbar

29.05.2012, 20:27

KnowingLizard

Exakte DGL, Anfangswertproblem eindeutig lösbar

Hallo,
habe mich gerade mit exakten Differentialgleichungen auseinandergesetzt und wollte zu dem Thema eine Aufgabe lösen. Hier dann erstmal die Aufgabe:

Zitat:

Sei eine Differentialgleichung der Form $\begin{eqnarray*} P(x,y)+Q(x,y)y'=0 \end{eqnarray*}$ gegeben mit $\begin{eqnarray*} P, Q : U \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Die Differentialgleichung sei exakt, d.h. es existiert ein $\begin{eqnarray*} \phi: U \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} P = \partial_x\phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q = \partial_y \phi \end{eqnarray*}$ .
1. Sei $\begin{eqnarray*} y: J \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine stetig differenzierbare Lösung der Differentialgleichung. Zeigen Sie nun, dass dann $\begin{eqnarray*} x \mapsto \phi(x,y(x)) \end{eqnarray*}$ konstant ist.
2. Gelte $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)\in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q(x_0, y_0) \neq 0 \end{eqnarray*}$ , zeigen Sie, dass die Differentialgleichung zusammen mit der Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} y(x_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ lokal eindeutig lösbar ist. Verwenden Sie hierfür den Satz von der impliziten Funktion.

Mein Lösungsansatz:
1. Nun, mir ist ins Auge gesprungen, dass die linke Seite der Differentialgleichung laut Kettenregel gleich $\begin{eqnarray*} \frac{d\phi(x,y(x))}{dx} \end{eqnarray*}$ ist, somit gilt
$\begin{eqnarray*} \frac{d\phi(x,y(x))}{dx}=0 \end{eqnarray*}$ für das y, das die DGL löst. Nach Integration muss also ein $\begin{eqnarray*} C\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ existieren, so dass $\begin{eqnarray*} \phi(x,y(x))=C \end{eqnarray*}$ , also ist diese Funktion konstant. Richtig so? smile

2. Hier bin ich mir unsicher. Gelten die Bedingungen von 1., dann ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ konstant, d.h. $\begin{eqnarray*} \phi(x,y(x))=\phi(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \phi(x,y(x))-\phi(x_0,y_0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \partial_y (\phi(x,y(x))-\phi(x_0,y_0))=\partial_y (\phi(x,y(x)))= Q(x,y(x)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q(x_0,y_0) \neq 0 \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung, wonach der Satz über die implizite Funktion anwendbar ist, der nun sagt, dass für $\begin{eqnarray*} \phi(x,y(x))-\phi(x_0,y_0)=0 \end{eqnarray*}$ eine lokal eindeutige Lösung um $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ existiert. Nach meiner Version des Satzes muss hierfür meine linke Seite der Gleichung aber stetig differenzierbar sein, ist es das in diesem Fall? Jedenfalls exsitiert dann eine lokal eindeutige Lösung für diese Gleichung, diese gilt auch für die Ableitung (totales Differential) nach x dieser Gleichung und das war ja gerade meine gesuchte Differentialgleichung. Passt das so halbwegs?

Vielen, vielen Dank für die Mühe, sich das Geschreibsel anzuschauen Freude

30.05.2012, 18:41

KnowingLizard

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann denn wirklich niemand helfen? Tränen

03.06.2012, 13:15

KnowingLizard

Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich niemand da, der einfach kurz den ersten Post grob durchlesen könnte und sagen könnte, ob das grob so hinkommt? verwirrt

04.06.2012, 20:12

gastaa

Auf diesen Beitrag antworten »

Für den Satz über die implizite Funktion brauchst du eine Funktion f(x, y), die in Umgebungen U, V um von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ 0 ist.

Nimm also nicht ¦(x, y(x)) (was nur von x abhängt), sondern ¦(x, y).
Dann ist auch ∂y (¦(x, y(x)) - ¦(x0, y0)) = Q(x0, y0) ungleich 0 und man kann den Satz über die implizite Funktion anwenden.

04.06.2012, 20:15

esawsaeawcswca

Auf diesen Beitrag antworten »

Für den Satz über die implizite Funktion brauchst du eine Funktion f(x, y), die in Umgebungen U, V um von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ 0 ist.

Nimm also nicht $\begin{eqnarray*} Phi \end{eqnarray*}$ (x, y(x)) (was nur von x abhängt), sondern $\begin{eqnarray*} Phi \end{eqnarray*}$ (x, y).
Dann ist auch $\begin{eqnarray*} delta_y \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} Phi \end{eqnarray*}$ (x, y(x)) - $\begin{eqnarray*} Phi \end{eqnarray*}$ (x0, y0)) = Q(x0, y0) ungleich 0 und man kann den Satz über die implizite Funktion anwenden.

Neue Frage »

Antworten »

Exakte DGL, Anfangswertproblem eindeutig lösbar

Verwandte Themen