Schwieriges Integral

29.05.2012, 21:10

Mads85

Schwieriges Integral

Edit (mY+): Bitte keine Hilfeersuchen, schon gar nicht in der Überschrift.

Ich habe gegeben:
$\begin{eqnarray*} \gamma = \frac{1}{f(x)}\frac{(\int_0^c \! \frac{x}{f(x)} \, dx )^{2}}{(\int_0^c \! \frac{1}{f(x)} \, dx)^{2} } \end{eqnarray*}$

und soll berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^c \! \gamma \, dx \end{eqnarray*}$

Nun weis ich nicht wie ich vorgehen soll. Ich kann die Quadrate ja nicht ausrechnen, da ich f(x) nicht explizit kenne. Theoretisch müsste ich ja erstmal das Integral innerhalb der Klammern im Zähler und Nenner des zweiten Terms berechnen dann quadrieren und anschließend das komplette Gamma integrieren oder?

$\begin{eqnarray*} \int_0^c \! \frac{1}{f(x)}\frac{(\int_0^c \! \frac{x}{f(x)} \, dx )^{2}}{(\int_0^c \! \frac{1}{f(x)} \, dx)^{2} }= \end{eqnarray*}$

also berechnen der inneren Integrale:

$\begin{eqnarray*} =\int_0^c \! \frac{1}{f(x)}\frac{(\frac{\frac{1}{2} c^{2}}{f(c)})^{2}}{(\frac{c}{f(c)})^{2} }\, dx \end{eqnarray*}$

dann die Quadrate ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} =\int_0^c \! \frac{1}{f(x)}\frac{\frac{\frac{1}{4} c^{4}}{(f(c)^{2})}}{\frac{c^{2}}{(f(c))^{2}} }\, dx \end{eqnarray*}$

Kürzen:
$\begin{eqnarray*} =\int_0^c \! \frac{1}{f(x)}\frac{1}{4} c^{2}\, dx \end{eqnarray*}$

Äußeres Integral berechnen:

$\begin{eqnarray*} =\frac{c}{f(c)}\frac{1}{4} c^{2}=\frac{\frac{1}{4}c^{3} }{f(c)} <br /> \end{eqnarray*}$

Oder bin ich damit komplett auf dem Holzweg? Wenn ja was ist falsch?

29.05.2012, 21:26

Dustin

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Hi Mads85,

auch wenn ich (noch) keinen konkreten Tipp zur Lösung habe:

Zitat:

Oder bin ich damit komplett auf dem Holzweg? Wenn ja was ist falsch?

Ja, leider bist du auf dem Holzweg.

. Deine Integrationen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_0^c \! \frac{1}{f(x)}\frac{(\int_0^c \! \frac{x}{f(x)} \, dx )^{2}}{(\int_0^c \! \frac{1}{f(x)} \, dx)^{2} }= \end{eqnarray*}$ also berechnen der inneren Integrale: $\begin{eqnarray*} =\int_0^c \! \frac{1}{f(x)}\frac{(\frac{\frac{1}{2} c^{2}}{f(c)})^{2}}{(\frac{c}{f(c)})^{2} }\, dx \end{eqnarray*}$

sind falsch (wie kommst du darauf?) Man kann diese Integrale nicht explizit ausrechnen.

LG Dustin

29.05.2012, 21:47

Dustin

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Also so wie es da steht, sind die beiden inneren Integrale einfach Konstanten (wenn auch nicht explizit berechenbar). Schließlich handelt es sich um bestimmte Integrale mit festen Grenzen. Diese Konstanten könnte man dann einfach vor das zu berechnende Integral

$\begin{eqnarray*} \int_0^c \! \gamma \, dx \end{eqnarray*}$

ziehen.

29.05.2012, 22:20

Mads85

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Zitat:

Original von Dustin

sind falsch (wie kommst du darauf?) Man kann diese Integrale nicht explizit ausrechnen.

Naja ich dachte ich kenne f(x) nicht, wenn ich f(x) integriere gibt das irgendeine Stammfunktion von f(x) und da dann die Grenzen eingesetzt gibt eine Stammfunktion die jetzt nur noch von c abhängt, jedoch nicht mehr von x.

Also:

$\begin{eqnarray*} (\int_0^c \! \frac{x}{f(x)} \, dx)^{2} = \frac{1}{(f(c))^{2}} (\int_0^c \! x\, dx)^{2} \end{eqnarray*}$

bei dem Integral im Zähler, bei dem im Nenner und das vordere Integral analog.

29.05.2012, 22:39

Dustin

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Also:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (\int_0^c \! \frac{x}{f(x)} \, dx)^{2} = \frac{1}{(f(c))^{2}} (\int_0^c \! x\, dx)^{2} \end{eqnarray*}$

Nein so geht das auf keinen Fall. Wie ich das jetzt verstehe, versuchst, du, Zähler und Nenner getrennt zu integrieren. Das darf man nicht, schließlich geht das auch beim Ableiten eines Bruchs nicht (dazu braucht man die Quotientenregel).

Richtig ist aber, dass die beiden inneren Integrale unabhängig von x sind. Behandle sie also wie Konstanten (siehe auch mein vorheriger Post).

29.05.2012, 22:47

Mads85

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Ja da hast du recht, das habe ich nicht beachtet. Wenn ich näher darüber nachdenke ist es natürlich klar, dass ich Zähler und Nenner nicht separat integrieren darf.

Ok, aber dann komme ich nur soweit:

$\begin{eqnarray*} \frac{(\int_0^c \! \frac{x}{f(x)} \, dx )^{2}}{(\int_0^c \! \frac{1}{f(x)} \, dx)^{2}}\int_0^c \! \frac{dx}{f(x)} \end{eqnarray*}$

und muss dann aufhören, weil ich f(x) ja nicht explizit integrieren kann

29.05.2012, 23:18

Dustin

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Ja, so sehe ich das auch. Allerdings kann man

$\begin{eqnarray*} \int_0^c \! \frac 1 {f(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

jetzt noch einmal kürzen.

30.05.2012, 08:00

Mads85

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Zitat:

Original von Dustin
Ja, so sehe ich das auch. Allerdings kann man

$\begin{eqnarray*} \int_0^c \! \frac 1 {f(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

jetzt noch einmal kürzen.

Da war es gestern mal wieder etwas zu spät für, bzw. ich doch zu müde. Das ich da noch kürzen kann ist mir heute morgen auch aufgefallen hier also meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} \frac{(\int_0^c \! \frac{x}{f(x)} \, dx )^{2}}{\int_0^c \! \frac{1}{f(x)} \, dx} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für deine Hilfe Dustin!

30.05.2012, 09:24

Dustin

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Gern.

Ich vermute mal, in dieser und der anderen von dir hier geposteten Aufgabe sollte man in erster Linie erkennen, was von x abhängt und was nicht.
Auch hier wäre es m.E. wieder sinnvoll, in den inneren Integralen x durch t o.Ä. zu ersetzen, dann sieht man nämlich sofort, dass diese beiden Integralwerte unanbhängig von x sind:

$\begin{eqnarray*} \gamma (x) = \frac{1}{f(x)}\frac{(\int_0^c \! \frac{t}{f(t)} \, dt )^{2}}{(\int_0^c \! \frac{1}{f(t)} \, dt)^{2} } \end{eqnarray*}$

30.05.2012, 21:18

Mads85

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Und die Lösung nochmal:

$\begin{eqnarray*} \int_0^c \! \frac{1}{f(x)}\frac{(\int_0^c \! \frac{t}{f(t)} \, dt )^{2}}{(\int_0^c \! \frac{1}{f(t)} \, dt)^{2} }dx=\frac{(\int_0^c \! \frac{t}{f(t)} \, dt )^{2}}{(\int_0^c \! \frac{1}{f(t)} \, dt)^{2}}\int_0^c \! \frac{1}{f(x)} dx=\frac{(\int_0^c \! \frac{t}{f(t)} \, dt )^{2}}{\int_0^c \! \frac{1}{f(t)} \, dt} \end{eqnarray*}$

Und vielen Dank nochmal Dustin Gott

30.05.2012, 23:13

Dustin

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Gern doch!

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