Ebene, die zwei Punkte enthält

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Fibonaccier Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene, die zwei Punkte enthält
Meine Frage:
Aufgabenstellung:

"Gegeben sind die Punkte A = (12,5;3;4)^T und B = (2,5;6;0)^T."

a.) Bestimmen Sie die Koordinatenform einer Ebene E so, dass E parallel zur x-Achse liegt und die Punkte A und B enthält.


b.) Berechnen Sie die Schnittpunkte von E mit der y-Achse und der z-Achse.

c.) Geben Sie eine Gleichung für die Gerade g an, die im Punkt B senkrecht auf der durch A und B verlaufenden Geraden steht und in der Ebene E liegt.

Meine Ideen:
Ich habe schon Probleme beim Aufgabenteil a. Daher bin ich zu den anderen leider erst gar nicht gekommen. -.-

Mein Ansatz für a war folgender:

1. Die Ebenengleichung in Parameterform aufstellen. Dafür habe ich als Stützvektor (0,0,0) gewählt und dann damit die beiden Richtungsvektoren 0A und 0B ermittelt.
2. Die Ebene in Koordinatenform umrechnen.

Mir ist jedoch nicht ganz klar, was ich genau berücksichtigen muss, damit die Ebene parallel zur x-Achse liegt.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Der Stützvektor muss auf jeden Fall auf einen Punkt gerichtet sein, der in der Ebene enthalten ist. Und das trifft ganz sicher - siehe Angabe - auf A und B zu. (Der Ursprung könnte durch Zufall auch enthalten sein, aber das zu untersuchen ist unnötig, solange Du andere, "sichere" Möglichkeiten hast.)

Als ein Richtungsvektor kommt einmal (oder ein Vielfaches davon) in Frage.

Der zweite RV muss parallel zur x-Achse sein. Wie sieht der aus?
Fibonaccier Auf diesen Beitrag antworten »

Also soweit ich das verstanden habe, braucht man um eine Ebene aufzuspannen einen Punkt (Stützvektor) und die beiden Richtungsvektoren.

Daher würde ich nun A als Stüzvektor ansehen und von dort aus nun die 2. Achse der Ebene aufspannen.

Der 2. RV sollte demnach AC sein.
C könnte dann =
lambda*(a,0,0)sein oder?
Da y und z beide = 0 sind, ist sichergestellt, dass die Ebene parallel zur x-Achse liegt.


Richtig?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, im Prinzip richtig.

Nur hat A mit dem 2. Richtungsvektor gar nix zu tun.

wäre die allgemeine Form, Du kannst gleich nehmen (und einen Parameter davorsetzen).
Fibonaccier Auf diesen Beitrag antworten »

Schon einmal vielen Dank für Deine schnelle und kompetente Hilfe!


Also wäre die Gleichung der Ebene zunächst in der Parameterdarstellung folgende:

E:


Somit wäre der Normalenvektor folgender:






Also wäre die Koordinatenform dementsprechend:


4y-3z = 0
oder?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz. Der zweite Richtungsvektor ist bei mir , dementsprechend anders muss dann der Normalvektor lauten.

Zitat:
4y-3z = 0

Abgesehen vom falschen Normalvektor ist das insofern nicht richtig, als Du nicht mit 0 gleichsetzen darfst. Sondern mit z. B. d.
Und jetzt nutze, dass die Punkte A und B ja Deine Ebenengleichung erfüllen müssen.

Edit
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Abgesehen vom falschen Normalvektor ist das insofern nicht richtig, als Du nicht mit 0 gleichsetzen darfst. Sondern mit z. B. d.


Das hatte er hier erwähnt, wie er auf die null kam:

Zitat:
Fibonaccier Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gualtiero
Nicht ganz. Der zweite Richtungsvektor ist bei mir , dementsprechend anders muss dann der Normalvektor lauten.



Wieso ist denn da wichtig, ob es der erste oder der zweite RV ist? Ich meine es ist klar, dass sich die Vorzeichen für den Normalenvektor drehen, sobald man die beiden RV's vertauscht. Aber das bringt ja das selbe Ergebnis als Skalarprodukt. Habe ich da eventuell etwas übersehen?


Und wie sieht das nun mit der 0 aus? Darf sie dort stehen oder nicht?


Vielen Dank an euch beide!
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte nur den RV exakt bezeichnen, bei dem Du Dich verrechnet hast.

Entscheidend ist jetzt, dass Du dadurch einen anderen Normalvektor bekommst, nämlich

Die Ebene -4y -4z = 0 geht durch den Ursprung, das muss aber nicht so sein.
Daher sagst Du -4y -4z = d und verfährst so, wie ich gesagt habe. Sobald Du d hast, hast Du auch die Koordinatengleichung der Ebene.

(Bin jetzt ein Weilchen weg was essen.)
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Da war Gualtiero wohl etwas in Eile:

Zitat:
Daher sagst Du -4y -4z = d und verfährst so, wie ich gesagt habe. Sobald Du d hast, hast Du auch die Koordinatengleichung der Ebene.


Passt nicht ganz zum Normalenvektor und wie gesagt wie der Fragesteller an die Zahl d kommt, das weiß er (wie oben erwähnt).
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, @Fibonaccier, -4y -3z = d ist natürlich richtig. Dass Du eigentlich mein Verfahren zur Bestimmung der Konstante d angewendet hast, hatte ich übersehen.
Fibonaccier Auf diesen Beitrag antworten »

Ok! Kein Problem! Freude


Nun zu Aufgabenteil b:

Um dort die Berechnung des Schnittpunktes mit den Achsen zu bestimmen, habe ich mir überlegt, dass ich für die y-Achse x und z gleich 0 sein lasse.

Für den Schnittpunkt mit der z-Achse würde ich dann entsprechend x und y gleich 0 sein lassen.

Damit komme ich auf folgendes:

4y-3z=d

für y-Achse => 4y = d

für z-Achse => -3z = d

Geht dieser Ansatz so in die richtige Richtung?

Wie bestimme ich im weiteren dann den Punkt?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist die richtige Überlegung.

Aber wie ist es nun mit d - hast Du es schon berechnet?
Fibonaccier Auf diesen Beitrag antworten »

Da liegt mein Problem. Ich dachte eigentlich, dass ich d schon berechnet habe.

Durch die Skalare Multiplikation von dem Normalenvektor mit dem Stützvektor.

Jedoch kam dort 0 als Ergebnis raus. Daher stehe ich an diesem Punkt auf dem Schlauch.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

d ist aber nicht 0!

Rechne nochmal mit diesem Normalvektor.

Zitat:
Original von Gualtiero
Entscheidend ist jetzt, dass Du dadurch einen anderen Normalvektor bekommst, nämlich
Fibonaccier Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, sry! Ich habe meinen Fehler gefunden. Hammer


Somit komme ich auf folgendes:

-4y-3z = -24

Nun teile ich durch -24 und erhalte das:

y/6+z/8=1

Damit sollte ich die beiden Punkte doch nun bestimmt haben oder?


für Teil c würde ich folgendes als Lösung ansehen:

g:
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ebenengleichung ist richtig. Freude

Zitat:

y/6+z/8=1

Damit sollte ich die beiden Punkte doch nun bestimmt haben oder?


Ja, wenn Du weißt, wie Du die Punkte bekommst. Tipp: auf den Nenner gucken . . .

Es geht auch der Ansatz, den Du oben schon erwähnt hast, nämlich mit dem Nullsetzen der xy- bzw. xz-Koordinaten. Denn d hast Du ja.

Aufgabe c)
Stützvektor ist OK.

Aber wie bist Du zum RV gekommen? unglücklich

Mein Tipp: Denk an , an den Normalvektor der Ebene und an das Kreuzprodukt.
Fibonaccier Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich habe den falschen Normalenvektor benutzt. So sollte es dann wohl aussehen.

g:


Mein Gedankengang war der, dass der Normalenvektor ein Vektor ist, der senkrecht auf einer Ebene steht.
Daher wollte ich diesen einfach an den gewünschten Punkt verschieben. Der Punkt selbst liegt doch auch in der Ebene.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fibonaccier
g:

Das ist eine Gerade, die durch den Punkt B verläuft und senkrecht zur Ebene steht - nicht eben das, was in c) gefordert ist:

Die Gerade soll innerhalb der Ebene verlaufen!!!


Deshalb wiederholend:

Zitat:
Original von Gualtiero
Denk an , an den Normalvektor der Ebene und an das Kreuzprodukt.
Fibonaccier Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok. Nun kann ich es mir auch räumlich vorstellen. Freude


Aber ich habe trotz der ein oder anderen Überlegung keine Ahnung, wie ich den Richtungsvektor bestimmen kann. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die gesuchte Gerade soll

1.) senkrecht zu AB mit Richtungsvektor (-10,3,4) verlaufen und

2.) in der Ebene liegen, d.h., senkrecht zu deren Normalenvektor (0,-4,-3) verlaufen.


Wie bestimmt man im einen (Richtungs-)Vektor, der zu zwei bekannten Vektoren senkrecht stehen soll? Dafür war der Tipp "Kreuzprodukt" von Gualtiero gedacht!!!
Fibonaccier Auf diesen Beitrag antworten »

Also wäre dann der entsprechende Richtungsvektor (-10,3,-4) oder?

Den habe ich mit dem Tipp sogar bestimmt. Jedoch habe ich vor Deinem Post nicht verstanden wieso das so ist.

Danke Dir für diese Erklärung. Gott
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fibonaccier
Also wäre dann der entsprechende Richtungsvektor (-10,3,-4) oder?

Das ist nicht der Richtungsvektor der gesuchten Geraden in c). Muss ich meinen Beitrag nochmal wiederholen? Halte ich eigentlich für ziemlich sinnlos. unglücklich


EDIT: Oder spielst du nur auf meinen Vorzeichenfehler in 1.) an? Ja, da habe ich mich verschrieben, der Richtungsvektor von AB ist (-10,3,-4).
Fibonaccier Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, sry. Bin heute morgen noch ein wenig weich im Kopf.

Du meintest wohl das Kreuzprodukt aus:



Das wäre dann der Richtungsvektor oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, was lange währt wird manchmal doch gut. Freude
Fibonaccier Auf diesen Beitrag antworten »

Super! Danke Dir! Und nochmal sorry das es so schwerfällig war. Hammer
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