Ring integer aber nicht ganzabgeschlossen |
| 30.05.2012, 09:44 | SteveJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Ring integer aber nicht ganzabgeschlossen Ich habe eine Frage bzgl. einer Aufgabe, die ich im Rahmen meiner Prüfungsvorbereitung gefunden habe. Und zwar soll man zeigen, dass der Ring integer, aber nicht ganzabgeschlossen ist. Allerdings fehlt mir da der Ansatz. Vielleicht könnt ihr mir hier auf die schnelle helfen.. Vielen Danke schon im Voraus! |
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| 30.05.2012, 10:48 | DHD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Um zu zeigen, dass R ein Integritätsring ist genügt es z.z. dass (Y²-X³) ein Primideal ist, also dass Y²-X³ irreduzibel ist. Zur ganz Abgschlossenheit: X/Y (die Äquivalenzklassennotation spar ich mir aus Faulheit) ist ein Element von Quot(R) das ganz über R ist. (Das Ganze hat auch einen geometrischen Hintergrund: Y²-X³ hat eine Singularität im Nullpunkt) |
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| 30.05.2012, 10:50 | DHD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tippfehler: Y/X ist die bessere Wahl. |
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| 30.05.2012, 11:00 | SteveJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
woran sehe ich denn auf Anhieb, dass Y/X ganz in R ist? oder ist dies nicht so klar, wie du es hingeschrieben hast 
aber danke schon mal! |
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| 30.05.2012, 11:11 | DHD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die (relativ triviale) Ganzheitsgleichung darfst du schon selber finden. Oder ist das Problem, dass du nicht weißt wie man Ganzheitsgleichungen aufstellt? |
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| 30.05.2012, 11:35 | SteveJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das ist wohl mein problem.. wir haben das bis jetzt nie mit ganzheitsgleichungen gemacht.. wenn du mir da kurz nachhelfen könntest, wäre ich dir sehr dankbar! |
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| 30.05.2012, 11:43 | DHD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielleicht verwirrt dich auch nur der Begriff. Es ist Im Wesentlichen das selbe wie Minimalpolynome für algebraische Elemente (nur halt jetzt über einem Ring). Der billigste Ansatz ist Potenzen des Elements hinzuschreiben bis man einen Zusammenhang sieht. (Hier gilt es die Äquivalenzklasse zu beachten.)
Wie habt ihr es denn dann gemacht? |
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| 30.05.2012, 11:52 | SteveJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
bis jetzt hat der prof nur in der vorlesung einige beweise gemacht, aber bei denen hat er immer eine menge definiert und dann gezeigt, dass diese bereits der abschluss ist.. nur wie ich als laie das sehen soll, ist mir ein rätsel.. auf den übungsblättern hatten wir keine aufgaben von solcher form, aber ich hab diese aufgabe in einer alten klausur von ihm gefunden und mich gefragt, wie das funktioniert.. kann ja evtl auch bei meiner mündlichen prüfung drankommen.. zumindest die ansätze werden da ja abgefragt.. kann ich bei der irreduzibilität von y^2-x^3 mit der nicht vorhandenen nullstelle argumentieren? also sowas in der art: wäre a eine nullstelle von dem polynom, dann gelte ja y^2=a^3.. dann gilt aber 3=deg(x^3)=deg(a^2)=2*deg(a) -> widerspruch und somit ist das polynom irreduzibel |
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| 30.05.2012, 12:12 | DHD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist der Standardbeweis dafür.
Und einen habe ich bereits genannt. |
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| 30.05.2012, 12:24 | SteveJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alles klar danke dir! kann ich direkt zeigen, dass R integer ist, ohne auf die irreduzibilität von dem polynom zurückzugreifen? ich hatte mir das mal mit dem homomorphiesatz überlegt.. wenn ich eine funktion f von R nach Q[T] definiere, dass X auf T^2 und Y auf T^3 schickt, dann ist ja Y^2 - X^3 im kern von f, da ja (T^2)^3 - (T^3)^2 = 0 ist.. nach dem homom.satz hat man dann ja einen inj. homomorphismus von R nach Q[T] und da Q[T] integer ist, so ist auch der Unterring R integer.. ist das auch möglich? oder übersehe ich was? |
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| 30.05.2012, 12:41 | DHD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann man hier machen, ist i.A. schwieriger als die Irreduzibilitätsschiene. Nur aus Kuriosität: Ich hab bisher noch nie jemanden getroffen der integer als Adjektiv für einen integritätsring verwendet. Habt ihr das in der vorlesung so eingeführt? |
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| 30.05.2012, 12:57 | SteveJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, so hat es der prof bei uns eingeführt^^ bei ihm sehen wir nie die begriffe integritätsring oder ähnliches.. sondern immer nur, der ring ist integer ... vielen dank dir nochmal für die tolle hilfe! |
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