Extremwertaufgabe, Zylinder |
30.05.2012, 10:27 | Matthias96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Extremwertaufgabe, Zylinder Hallo, ich verstehe bis jetzt noch kaum, wie man die Extremwertaufgaben lösen kann... Kann mir jemand Schritt für Schritt folgende Aufgabe erklären? Ich will die Aufgabe nicht einfach so abschreiben, sondern verstehen! Diese lautet: Ein Erfrischungsgetränk wird in zylindrischen Dosen angeboten. Das Volumen einer Dose soll o,33 l betragen. Aus Kostengründen soll der Materialbedarf pro Dose möglichst gering gehalten werden. Berechnen Sie Radius und Höhe einer solchen "Optimalen Dose". Meine Ideen: So. Als erstes würde ich dann eine Skizze anfertigen. Das kann ich hier jetzt leider nicht zeigen, aber halt wie eine Dose so aussehen könnte. 1. Skizze Hier würde ich die Informationen zum Zylinder aufschreiben: Volumen = Grundfläche * Höhe V = Pi * r² (Kreisfläche) * h (Pi = ca. 3,14) Mantel = Rechteck mit den Seiten 2*Pi*r (Umfang des Kreises) und h M = 2 * Pi*r*h Oberfläche = Deckel + Boden + Mantel O = 2 Pi r * (r+h) So. Als nächstes würde ich dann die Extremalbedingung aufstellen. Hier muss ja der Materialbedarf minimiert werden, somit: 2. Extremalbedingung Material (r;h) => 2*Pi*r*(r + h) => Min 3. Nebenbedingung Hier weiß ich, dass das Volumen 0,33 l betragen soll. Wie gehe ich denn weiter vor? Ist die Extremalbedingung von mir überhaupt richtig aufgestellt? |
||||
30.05.2012, 11:25 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Ja, die Extremalbedingung (EB) stimmt. Jetzt nutzt du die NB, um eine der Variablen in der EB zu eliminieren. 0,33 dm³ = pi·r²·h 330 cm³ = pi·r²·h Ich würde nach h umstellen und das h in der EB dann ersetzen. |
||||
30.05.2012, 11:44 | Matthias 96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Extremwertaufgabe, Zylinder Hallo Sulo, vielen Dank schon mal für Deine schnelle Antwort. Okay, somit habe ich dann die EB. Die Nebenbedingung lautet dann: 330 = pi * r² * h Wenn ich nach h umstelle, lautet dann die Zielfunktion so: h = 330 - pi / r². Ist das soweit korrekt? Dann h in die EB einsetzen: Material (r) = 2 * Pi * r * (r + (330 - pi / r²)) Wie geht es dann weiter? Minimal, wenn gilt: Die erste Ableitung von Mat(r) ist gleich 0, also: Mat´(r) = 0 Jedoch habe ich total Probleme jetzt die erste Ableitung zu ermitteln, wenn ich ehrlich bin. |
||||
30.05.2012, 11:53 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Leider nein. Du musst die 330 sowohl durch pi als auch durch r² teilen. Die EB lautet somit: O(r) = 2·pi·r·(r + 330/(pi· r²)) Vor der ersten Ableitung würde ich die große Klammer auflösen und vereinfachen. |
||||
30.05.2012, 12:20 | Matthias 96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Okay, das habe ich soweit nachvollzogen... Gut, dann haben wir vorerst: O(r) = 2·pi·r·(r + 330/(pi· r²)) Nun benötige ich die erste Ableitung... Ich versuche es einfach mal die große Klammer zu vereinfachen: O (r) = 2*pi*r*( 330 + r³ / pi) ??? Obwohl... das sieht schon falsch aus, wenn ich ehrlich bin... |
||||
30.05.2012, 13:07 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Du kannst nicht einfach Variablen aus dem Nenner in den Zähler packen. Jetzt kannst du kürzen und dann ableiten. Ich muss leider weg, wenn jemand übernehmen will kann er das gerne tun. |
||||
Anzeige | ||||
|
||||
30.05.2012, 13:11 | Matthias 96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Okay, gekürzt sieht das so aus: O (r) = 2 * pi * r² + 660/r Ich hoffe, mir kann jetzt jemand weiter mit der Ableitung helfen? Danke Sulo!!! Du hast mir auf jeden Fall weiter geholfen! |
||||
30.05.2012, 17:09 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Wenn du die Funktion so schreist, sollte das Ableiten nicht schwer sein: O (r) = 2 * pi * r² + 660·r^-1 |
||||
31.05.2012, 12:09 | Matthias 96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Hey Sulo, da bist Du ja wieder! :-) Meine Rettung Ich kann die Ableitungen zwar bei normalen Funktionsgleichungen, aber in so einer Form haben wir das noch nicht in der Schule gemacht... So, dann versuche ich mal mein Glück: O (r) = 2 * pi * r² + 660·r^-1 O`(r) = 4*pi*r + 660 Wenn die Ableitung stimmen sollte, dann würde ich folgend weiter vorgehen: Materialbedarf minimal, wenn gilt O´(r) = 0 4*pi*r + 660 = 0 4*pi*r = - 660 Pi*r = -165 r = 52,55 r würde ich dann in die Zielfunktion einsetzen, also: O (r) = 2 * pi * r² + 660/r = 2 *pi * 52,55² + 660/52,55 = 17.354,8 Hmm... das Ergebnis kann i-wie nicht stimmen. Es sollen ja cm rauskommen und eine Dose kann ja nicht eine minimale Länge von über 17 Tausend cm haben? |
||||
31.05.2012, 12:24 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Stimmt leider auch nicht. Wie leitet man denn grundsätzlich ab? wird zu Und jetzt setze n = -1 Du musst nur überlegen, was dann n - 1 ist. |
||||
31.05.2012, 12:37 | Matthias 96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder O (r) = 2 * pi * r² + 660·r^-1 x^n wird zu n * x ^n-1 Ich weiß jetzt nicht, ob 2 * pi * r² zusammen gehören? Dann würde das nach meiner Berechnung 4*pi*r rauskommen, was aber nicht richtig ist... Oder ist es dann so: O´(r) = 12,56 r - 660 r ? |
||||
31.05.2012, 12:41 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Die 4·pi·r stimmen , aber die 660·r^-1 müssen noch abgeleitet werden. Darauf bezog sich meine Erklärung. Lass die 4pi auch so stehen und setze keine Zahlen ein, ok? |
||||
31.05.2012, 12:45 | Matthias 96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder 4*pi*r stimmen, okay... Dann versuche ich´s weiter... O´(r) = 4*pi*r - 660/r ? |
||||
31.05.2012, 12:47 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Was soll das Raten? 660/r = 660·r^-1 Und nochmal zur Erinnerung:
|
||||
31.05.2012, 12:54 | Matthias 96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Mensch, Du hast Recht... Ich rate jetzt nur noch... Ich sehe nur diese Zahlen und verstehe das nicht! Ich weiß nicht, wie ich das ableiten soll Normale Sachen kann ich ableiten, wie z. B.: f(x) = 3x³ - 6x² + 7 oder so... Sowas ist sogar für mich kinderleicht, aber solche Ableitungen sehe ich zum ersten Mal :-/ 660/r = 660·r^-1 So würde ich einfach 660r als n sehen und das mit -1 multiplizieren, somit -660r |
||||
31.05.2012, 12:55 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Wenn n = -1, dann gilt: n - 1 = -1 -1 = -2 Also: O´(r) = 4·pi·r - 660/r² |
||||
31.05.2012, 13:11 | Matthias 96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder ACH SO!!!!!!!!!! Soweit habe ich gar nicht nachgedacht!!! Ich schaue mir gerade ein paar andere Übungen an, das scheint tatsächlich nach diesem Prinzip zu funktionieren... Ich schreibe mir das gleich auf: xn wird zu n * x^n-1 Okay... Dann habe ich nach tausenden Stunden die erste Ableitung Das setze ich jetzt 0: 4*pi*r - 660/r² = 0 Jetzt muss r² ja irgendwie alleine stehen bleiben, damit man r1 und r2 rauskriegen kann... Doch würde ich jetzt fast die r² mit 4*pi*r multiplizieren, damit -660 auf die andere Seite gebracht werden können, aber entsteht lt. meiner Rechnung dann Folgendes: 4*Pi*r³ = 660 r³ = 52,55 Mit Wurzelziehen 7,25 cm? Für die Länge einer Dose 0,33 l auch i-wie zu kurz... |
||||
31.05.2012, 13:14 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Eher zu lang. Du hast die 2. statt der 3. Wurzel gezogen. |
||||
31.05.2012, 13:16 | Matthias 96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Wie macht man das? Ich habe einfach auf dem Taschenrechner die 52,55 eingegeben und das Wurzelzeichen... Dann kommt, 7,24913... raus. |
||||
31.05.2012, 13:17 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Hmm, das müsste der TR eigentlich leisten, ansonsten mache "hoch 1/3". |
||||
31.05.2012, 13:18 | Matthias 96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Oder muss ich nochmal die Wurzel aus 7,25 berechnen? Somit 2,69? |
||||
31.05.2012, 13:20 | Matthias 96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder So, jetzt habe ich Folgendes eingetippt: 52,55^1:3 = 3,75 :-) |
||||
31.05.2012, 13:26 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Ja, das ist der Radius des Zylinders. (r = 3,745 cm ist mein Ergebnis.) Ich muss leider jetzt los. Du kannst noch die Höhe bestimmen, zur Kontrolle: Sie ist 2r. |
||||
31.05.2012, 13:28 | Matthias 96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Sollte r = 3,75 lauten, würde meine Länge so aussehen: O (3,75) = 2 * pi * 3,75² + 660 / 3,75 = 264,31 Dann wäre ja die minimale Länge 264,31 cm??? Mathe... nicht mein Fach =) Kaum fange ich an ein Thema zu verstehen, gehen wir bereits zum nächsten Thema und es wird immer und immer schwieriger |
||||
31.05.2012, 13:43 | Matthias 96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Die Höhe wäre jetzt bei mir: h = 330 / pi * r² = 330 / pi * 3,75² = 330 / 44,16 = 7,47 cm Zum Vergleich, Du hast geschrieben: 2r = Höhe Somit 3,75 * 2 = 7,5! STIMMT :-) WAHNSINN!!! ICH DANKE DIR SO SEHR!!! :-) Somit könnte ich ja ungefähr nachvollziehen wie diese OPTIMALE DOSE aussehen könnte! ;-) Die Höhe liegt bei 7,5 cm und der Durchmesser der Dose wäre ja auch bei 7,5 cm? :-) Ich glaube es einfach nicht |
||||
31.05.2012, 17:39 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Ja, deine Überlegungen sind richtig. Freut mich, wenn ich helfen konnte. |
||||
31.05.2012, 20:48 | Matthias 96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Definitiv! Du warst mir eine sehr große Hilfe! Ich danke Dir für Deine Geduld! Lieben Gruß Matthias |
||||
31.05.2012, 20:51 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder Melde dich gerne wieder, wenn du eine Aufgabe hast, bei der du Hilfe brauchst. |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
Die Neuesten » |