Extremwertaufgabe, Zylinder

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Matthias96 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe, Zylinder
Meine Frage:
Hallo,

ich verstehe bis jetzt noch kaum, wie man die Extremwertaufgaben lösen kann... Kann mir jemand Schritt für Schritt folgende Aufgabe erklären? Ich will die Aufgabe nicht einfach so abschreiben, sondern verstehen! Diese lautet:

Ein Erfrischungsgetränk wird in zylindrischen Dosen angeboten. Das Volumen einer Dose soll o,33 l betragen. Aus Kostengründen soll der Materialbedarf pro Dose möglichst gering gehalten werden. Berechnen Sie Radius und Höhe einer solchen "Optimalen Dose".


Meine Ideen:
So. Als erstes würde ich dann eine Skizze anfertigen. Das kann ich hier jetzt leider nicht zeigen, aber halt wie eine Dose so aussehen könnte.

1. Skizze

Hier würde ich die Informationen zum Zylinder aufschreiben:

Volumen = Grundfläche * Höhe
V = Pi * r² (Kreisfläche) * h (Pi = ca. 3,14)

Mantel = Rechteck mit den Seiten 2*Pi*r (Umfang des Kreises) und h
M = 2 * Pi*r*h

Oberfläche = Deckel + Boden + Mantel
O = 2 Pi r * (r+h)

So. Als nächstes würde ich dann die Extremalbedingung aufstellen. Hier muss ja der Materialbedarf minimiert werden, somit:

2. Extremalbedingung
Material (r;h) => 2*Pi*r*(r + h) => Min

3. Nebenbedingung
Hier weiß ich, dass das Volumen 0,33 l betragen soll.

Wie gehe ich denn weiter vor? Ist die Extremalbedingung von mir überhaupt richtig aufgestellt?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Ja, die Extremalbedingung (EB) stimmt. Freude

Jetzt nutzt du die NB, um eine der Variablen in der EB zu eliminieren.

0,33 dm³ = pi·r²·h
330 cm³ = pi·r²·h

Ich würde nach h umstellen und das h in der EB dann ersetzen.

smile
Matthias 96 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe, Zylinder
Hallo Sulo,

vielen Dank schon mal für Deine schnelle Antwort.

Okay, somit habe ich dann die EB.

Die Nebenbedingung lautet dann:

330 = pi * r² * h

Wenn ich nach h umstelle, lautet dann die Zielfunktion so:

h = 330 - pi / r². Ist das soweit korrekt?

Dann h in die EB einsetzen:

Material (r) = 2 * Pi * r * (r + (330 - pi / r²))

Wie geht es dann weiter?

Minimal, wenn gilt: Die erste Ableitung von Mat(r) ist gleich 0, also:

Mat´(r) = 0

Jedoch habe ich total Probleme jetzt die erste Ableitung zu ermitteln, wenn ich ehrlich bin.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Zitat:
Original von Matthias 96
h = 330 - pi / r². Ist das soweit korrekt?

Leider nein.
Du musst die 330 sowohl durch pi als auch durch r² teilen.

Die EB lautet somit: O(r) = 2·pi·r·(r + 330/(pi· r²))

Vor der ersten Ableitung würde ich die große Klammer auflösen und vereinfachen. smile
Matthias 96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Okay, das habe ich soweit nachvollzogen...

Gut, dann haben wir vorerst:

O(r) = 2·pi·r·(r + 330/(pi· r²))

Nun benötige ich die erste Ableitung... Ich versuche es einfach mal die große Klammer zu vereinfachen:

O (r) = 2*pi*r*( 330 + r³ / pi) ??? Obwohl... das sieht schon falsch aus, wenn ich ehrlich bin... verwirrt
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Du kannst nicht einfach Variablen aus dem Nenner in den Zähler packen.





Jetzt kannst du kürzen und dann ableiten.

Ich muss leider weg, wenn jemand übernehmen will kann er das gerne tun. smile
 
 
Matthias 96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Okay, gekürzt sieht das so aus:

O (r) = 2 * pi * r² + 660/r

Ich hoffe, mir kann jetzt jemand weiter mit der Ableitung helfen? verwirrt

Danke Sulo!!! Du hast mir auf jeden Fall weiter geholfen!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Wenn du die Funktion so schreist, sollte das Ableiten nicht schwer sein:

O (r) = 2 * pi * r² + 660·r^-1

smile
Matthias 96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Hey Sulo, da bist Du ja wieder! :-) Meine Rettung Big Laugh

Ich kann die Ableitungen zwar bei normalen Funktionsgleichungen, aber in so einer Form haben wir das noch nicht in der Schule gemacht...

So, dann versuche ich mal mein Glück:

O (r) = 2 * pi * r² + 660·r^-1
O`(r) = 4*pi*r + 660

Wenn die Ableitung stimmen sollte, dann würde ich folgend weiter vorgehen:

Materialbedarf minimal, wenn gilt O´(r) = 0

4*pi*r + 660 = 0
4*pi*r = - 660
Pi*r = -165
r = 52,55

r würde ich dann in die Zielfunktion einsetzen, also:

O (r) = 2 * pi * r² + 660/r = 2 *pi * 52,55² + 660/52,55 = 17.354,8


Hmm... das Ergebnis kann i-wie nicht stimmen. Es sollen ja cm rauskommen und eine Dose kann ja nicht eine minimale Länge von über 17 Tausend cm haben? Forum Kloppe
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Stimmt leider auch nicht.

Wie leitet man denn grundsätzlich ab? wird zu

Und jetzt setze n = -1
Du musst nur überlegen, was dann n - 1 ist.

smile
Matthias 96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
O (r) = 2 * pi * r² + 660·r^-1

x^n wird zu n * x ^n-1

Ich weiß jetzt nicht, ob 2 * pi * r² zusammen gehören? Dann würde das nach meiner Berechnung 4*pi*r rauskommen, was aber nicht richtig ist... Oder ist es dann so:

O´(r) = 12,56 r - 660 r ? verwirrt
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Die 4·pi·r stimmen Freude , aber die 660·r^-1 müssen noch abgeleitet werden.

Darauf bezog sich meine Erklärung. Augenzwinkern

Lass die 4pi auch so stehen und setze keine Zahlen ein, ok?

smile
Matthias 96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
4*pi*r stimmen, okay...

Dann versuche ich´s weiter...

O´(r) = 4*pi*r - 660/r ?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Was soll das Raten? verwirrt

660/r = 660·r^-1

Und nochmal zur Erinnerung:
Zitat:
Wie leitet man denn grundsätzlich ab? wird zu

Und jetzt setze n = -1
Du musst nur überlegen, was dann n - 1 ist.
Matthias 96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Mensch, Du hast Recht... Ich rate jetzt nur noch... Ich sehe nur diese Zahlen und verstehe das nicht! Ich weiß nicht, wie ich das ableiten soll Hammer

Normale Sachen kann ich ableiten, wie z. B.: f(x) = 3x³ - 6x² + 7 oder so... Sowas ist sogar für mich kinderleicht, aber solche Ableitungen sehe ich zum ersten Mal :-/

660/r = 660·r^-1
So würde ich einfach 660r als n sehen und das mit -1 multiplizieren, somit -660r
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Wenn n = -1, dann gilt: n - 1 = -1 -1 = -2

Also: O´(r) = 4·pi·r - 660/r² smile
Matthias 96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
ACH SO!!!!!!!!!! Soweit habe ich gar nicht nachgedacht!!! Ich schaue mir gerade ein paar andere Übungen an, das scheint tatsächlich nach diesem Prinzip zu funktionieren... Ich schreibe mir das gleich auf: xn wird zu n * x^n-1

Okay... Dann habe ich nach tausenden Stunden die erste Ableitung Big Laugh

Das setze ich jetzt 0:

4*pi*r - 660/r² = 0

Jetzt muss r² ja irgendwie alleine stehen bleiben, damit man r1 und r2 rauskriegen kann... Doch würde ich jetzt fast die r² mit 4*pi*r multiplizieren, damit -660 auf die andere Seite gebracht werden können, aber entsteht lt. meiner Rechnung dann Folgendes:

4*Pi*r³ = 660
r³ = 52,55

Mit Wurzelziehen 7,25 cm? Für die Länge einer Dose 0,33 l auch i-wie zu kurz...
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Eher zu lang. Augenzwinkern

Du hast die 2. statt der 3. Wurzel gezogen. Augenzwinkern
Matthias 96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Wie macht man das? Ich habe einfach auf dem Taschenrechner die 52,55 eingegeben und das Wurzelzeichen... Dann kommt, 7,24913... raus.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Hmm, das müsste der TR eigentlich leisten, ansonsten mache "hoch 1/3". smile
Matthias 96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Oder muss ich nochmal die Wurzel aus 7,25 berechnen? Somit 2,69?
Matthias 96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
So, jetzt habe ich Folgendes eingetippt:

52,55^1:3 = 3,75 :-)
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Ja, das ist der Radius des Zylinders. Freude

(r = 3,745 cm ist mein Ergebnis.)

Ich muss leider jetzt los. Du kannst noch die Höhe bestimmen, zur Kontrolle: Sie ist 2r.

smile
Matthias 96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Sollte r = 3,75 lauten, würde meine Länge so aussehen:

O (3,75) = 2 * pi * 3,75² + 660 / 3,75

= 264,31

Dann wäre ja die minimale Länge 264,31 cm???


Mathe... nicht mein Fach =) Kaum fange ich an ein Thema zu verstehen, gehen wir bereits zum nächsten Thema und es wird immer und immer schwieriger smile
Matthias 96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Die Höhe wäre jetzt bei mir:

h = 330 / pi * r² = 330 / pi * 3,75² = 330 / 44,16 = 7,47 cm

Zum Vergleich, Du hast geschrieben:

2r = Höhe

Somit 3,75 * 2 = 7,5! STIMMT :-) WAHNSINN!!! ICH DANKE DIR SO SEHR!!! :-)

Somit könnte ich ja ungefähr nachvollziehen wie diese OPTIMALE DOSE aussehen könnte! ;-)

Die Höhe liegt bei 7,5 cm und der Durchmesser der Dose wäre ja auch bei 7,5 cm? :-)

Ich glaube es einfach nicht Big Laugh
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Ja, deine Überlegungen sind richtig. Freude

Freut mich, wenn ich helfen konnte. smile

Wink
Matthias 96 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Definitiv! Du warst mir eine sehr große Hilfe! Ich danke Dir für Deine Geduld! smile

Lieben Gruß
Matthias
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe, Zylinder
Melde dich gerne wieder, wenn du eine Aufgabe hast, bei der du Hilfe brauchst. smile

Wink
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