Grenzwert bestimmen Epsilon

30.05.2012, 11:23

FaustX

Grenzwert bestimmen Epsilon

Meine Frage:
Hallo,

Ich soll den Grenzwert a von $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ bestimmen und beweisen indem ich zu einem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein N mit $\begin{eqnarray*} | a_{n} - a | < \epsilon \forall n > N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n-17}{n³+n²+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n-17}{n³+n²+1} \end{eqnarray*}$ Beh.: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} = 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben, Wähle dann N:=

$\begin{eqnarray*} n>N -> |a_{n}-a| = |\frac{n-17}{n³+n²+1}-0| = \frac{n-17}{n³+n²+1} < \epsilon \end{eqnarray*}$

Nun sollte ich ja diese Ungleichung nach n umformen

$\begin{eqnarray*} n-17<\epsilon *(n³+n²+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n-18 < \epsilon * n(n²+n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -18 < \epsilon * n(n²+n)-n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-18}{\epsilon} < n(n²+n-1) \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle frage ich mich dann, wie ich das Weiter auflöse um mein N bestimmen zu können und ob meine Vorgehensweise so weit passt, denn im vergleich zu meinen Anderen Aufgaben habe ich hier ab n>17 positive Folgenglieder, davor negative.

Wäre evtl. eine Abschätzung machbar?

Vielen dank für eure Antworten

30.05.2012, 11:31

klarsoweit

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RE: Grenzwert bestimmen Epsilon

Zitat:

Original von FaustX
$\begin{eqnarray*} -18 < \epsilon * n(n²+n)-n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-18}{\epsilon} < n(n²+n-1) \end{eqnarray*}$

Erstmal ist die Umformung von der oberen zur unteren Ungleichung falsch.

Außerdem kannst du von $\begin{eqnarray*} |\frac{n-17}{n³+n²+1}| \end{eqnarray*}$ nicht einfach die Betragsstriche weglassen, da $\begin{eqnarray*} \frac{n-17}{n³+n²+1} \end{eqnarray*}$ auch negativ sein kann.

Generell würde ich so vorgehen:

Für n > 17 ist $\begin{eqnarray*} |\frac{n-17}{n^3+n^2+1}| = \frac{n-17}{n^3+n^2+1} < \frac{n}{n^3+n^2+1} < \frac{n}{n^2} = \frac 1 n \end{eqnarray*}$

Wähle nun N >= 17 so, daß $\begin{eqnarray*} \frac 1 n < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist für n > N.

30.05.2012, 11:42

FaustX

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Ah, mist, hab ich nicht aufgepasst beim umformen.

Lässt sich denn alles etwas komplexere so wie hier auch nach oben hin abschätzen mit einem dann eben nicht optimalem N?

30.05.2012, 11:57

klarsoweit

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Das kann man nur mit einem eindeutigen jein beantworten.
Kompliziertere Folgen wird man eher mit den diversen Grenzwertsätzen behandeln. smile

30.05.2012, 15:39

FaustX

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Die werden dann sicher noch kommen, vielen Dank für die schnelle Hilfe, wäre ich doch fast wieder in die Falle getappt oben smile

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