lagrange-optimierung

30.05.2012, 14:11

ryu15

lagrange-optimierung

Hallo,

hätte da mal ne frage zu Lagrange-Optimierung und zwar geht es um folgende Aufgabe:

Benutzen Sie Lagrange Optimierung um $\begin{eqnarray*} x^{3} + 4y^{2} \end{eqnarray*}$ unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} 4x^{2}+2y=7 \end{eqnarray*}$ zu
maximieren.

Mein Lösungsweg:

Lagrange-Funktion aufstellen: $\begin{eqnarray*} L(x,y,\lambda)=x^{3} + 4y^{2}+\lambda(4x^{2}+2y-7) \end{eqnarray*}$ aufstellen und nach x,y und lambda ableiten

$\begin{eqnarray*} \frac{dL}{dx}=3x^{2}+8\lambda x=0 \end{eqnarray*}$ => pq formel $\begin{eqnarray*} x_{1/2}=0, -\frac{8}{3} \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dL}{dy}=8y+2\lambda=0 \end{eqnarray*}$ => pq formel $\begin{eqnarray*} y= -\frac{1}{4} \lambda \end{eqnarray*}$

einsetzen in die ableitung nach lambda

$\begin{eqnarray*} \frac{dL}{d\lambda}=4x^{2}+2y-7=0 \end{eqnarray*}$

wenn ich $\begin{eqnarray*} x=-\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ bekomme ich $\begin{eqnarray*} \lambda_{1/2}=0,51 \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} -0,48 \end{eqnarray*}$

bei $\begin{eqnarray*} x=0 => \lambda=-14 \end{eqnarray*}$

y ist ja klar, wie siehts aus mit dem x? ist x=0 eine gültige lösung oder nicht?

sind das alles günstige lösungen? (x=0 gültig)?
und sind alle lambda korrekt oder muss ich "das richtige" lambda noch irgendwie ermitteln?

30.05.2012, 15:29

Kasen75

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Hallo,

ich würde erst mal deine erste Lösung hinschreiben:

$\begin{eqnarray*} x_1=0 y_1=\frac{7}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{korrigiert} \end{eqnarray*}$ aufgrund des Hinweises von Dopap.
$\begin{eqnarray*} \lambda_1=-14 \end{eqnarray*}$
Hier habe ich mich gefragt, wie du auf $\begin{eqnarray*} x=-\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ kommst:

Zitat:

wenn ich $\begin{eqnarray*} x=-\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ bekomme ich $\begin{eqnarray*} \lambda_{1/2}=0,51 \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} -0,48 \end{eqnarray*}$

Das würde bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_2=1 \end{eqnarray*}$ wäre, wenn man die Ableitung der Lagrangefunktion nach x betrachtet. Die wäre allerdings ein Widerspruch zu deinen weiteren Ergebnissen.

Für die zweite Lösung, würde ich die beiden Gleichungen
$\begin{eqnarray*} x_{2}=-\frac{8}{3} \lambda y_2= -\frac{1}{4} \lambda \end{eqnarray*}$

benutzen.

jetzt einfach erste Gleichung durch die zweite Gleichung teilen. $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ fällt dadurch weg. Dann nach $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ auflösen. Den Ausdruck für $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ in die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ einsetzen und $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Bei Fragen oder Zwischenergebnissen, bitte posten.

Mit freundlichen Grüßen.

30.05.2012, 15:45

Dopap

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$\begin{eqnarray*} x_1=0 y_1=\color {red} \frac {7}{2} \lambda_1=-14 \end{eqnarray*}$

kann ich bestätigen. 2 Lambda- Werte sind zu stark gerundet, aber sonst o.k.

Der Rest : siehe Kasen75

31.05.2012, 15:26

ryu15

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Danke erstma für die Antworten smile

Aber ein paar Fragen hab ich noch!

Ok, also $\begin{eqnarray*} y_{1}=\frac{7}{2} \end{eqnarray*}$ erhalte ich wenn ich $\begin{eqnarray*} x_{1}=0 \end{eqnarray*}$ in die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ einsetze, und mein $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=-14 \end{eqnarray*}$ indem ich die zwei Werte in die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ einsetz.

Das heisst ja das ich bei den 3 Werten nen Hochpunkt habe?

$\begin{eqnarray*} x_{2}=-\frac{8}{3} \lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{2}= -\frac{1}{4} \lambda \end{eqnarray*}$

durch pq-Formel bzw umstellen nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

Wie genau es weiter geht weiss ich nicht.

Setz ich jetz die 2 Werte in die Ableitung nach lamda?

Dann hab ein Polynom 2 grades und benutze da dann wieder pq, kriege dann wieder $\begin{eqnarray*} \lambda=0.51 \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} \lambda=-0,48 \end{eqnarray*}$

Weiss nicht genau was du mit "erste Gleichung durch zweite teilen" meinst.

31.05.2012, 17:06

Kasen75

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Hallo,

wenn ich das richtig verstehe, willst du über die Lambdas die weitere Punkte bestimmen. Das ist möglich.
Die Werte für Lambda kannst du jetzt in die Ausdrücke für x und y einsetzen:
Ich habe zwar für die Lambdas umgekehrte Vorzeichen raus. Da ich mir nicht ganz sicher bin benutze ich jetzt erstmal deine Werte für Lambdas. Kannst ja noch mal schauen, ob die Vorzeichen stimmen. Du musst für jedes Lambda die entsprechenden Punkte bestimmen. Da man jeweils zwei x-Werte hat, kommen einige Punkte zusammen.
$\begin{eqnarray*} x_{2}= -\frac{8}{3} \lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{2}= -\frac{1}{4} \lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} fuer \lambda = 0,51 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3}= -\frac{8}{3} \lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{3}= -\frac{1}{4} \lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} fuer \lambda = -0,48 \end{eqnarray*}$

Der Punkt $\begin{eqnarray*} (x_1/y_1) \end{eqnarray*}$ ist ja:

$\begin{eqnarray*} x_{1}=0 y_2=-\frac{1}{4} \lambda=\frac{2}{7} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} fuer \lambda = -14 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich habe jetzt alle Punkte. Um zu entscheiden, welcher Art die Punkte sind (Hochpunkte, Sattelpunkte, Tiefpunkte) muss man sich der Hesse-Matrix bedienen. Hier ein Link

Mit freundlichen Grüßen.

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