Vektorrechnung: Ein steigendes Flugzeug.

30.05.2012, 16:05

burdayim

Vektorrechnung: Ein steigendes Flugzeug.

Man soll eine geeignete Annahme für die Geschwindigkeit des Flugzeugs in den ersten zehn Minuten treffen. Anschließend die Koordinaten des Flugzeugs nach zehn Minuten bestimmen.

Der Vektor lautet:
$\begin{eqnarray*} g= \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann dachte ich mir ich gib für t=10 ein also für 10min.

$\begin{eqnarray*} g= \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + 10min \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 11 \\ 7 \\ 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{11²+7²+11²} = 17,05 \end{eqnarray*}$

doch das Flugzeug würde in 10min grade mal etwa 17km zurück gelegt haben.

Ich glaube ich muss die Steigung erhöhen.
Wenn ich eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 300km/h haben will muss ich dann den Richtungsvektor mit 300 multiplizieren?
Oder wie kann ich es realistischer gestalten?

30.05.2012, 16:15

EM2012manaaa

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Hallo,

dein Fehler ist, du bildest den Betrag vom Endpunkt des Flugzeuges. Dann müsste, das Flugzeug aber im Ursprung starten. Das tut es aber nicht.

30.05.2012, 17:02

Dopap

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so eine Bastellaufgabe ist so eine Sache. Von den Zahlenwerten bietet sich km an.

Min als Zeit ist auch nicht schlecht, aber je 1 km/min =60 km/h in alle 3 Richtungen !!!!
riecht nach Kunstflug! Ist aber wohl möglich.
Nach 10 min sind dann mindestens 10 km Höhe erreicht! Etwas viel.
Schnellere Flugzeuge wären noch viel höher!

1. Lösung: beginne mit dem Lehrer eine Diskussion über minderwertige Aufgaben.

2.) Lösung: nimm z.B. einfach den Geschwindigkeitsvektor

$\begin{eqnarray*} \vec v = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0.2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann wird es realistisch, z.B eine Turbopropmaschine.

31.05.2012, 13:12

burdayim

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Zitat:

Original von EM2012manaaa
Hallo,

dein Fehler ist, du bildest den Betrag vom Endpunkt des Flugzeuges. Dann müsste, das Flugzeug aber im Ursprung starten. Das tut es aber nicht.

Stimmt ich sollte nicht 11 7 11 nehmen sondern 10 10 10.

Also hab ich es jetzt so gemacht.
$\begin{eqnarray*} \sqrt{10²+10²+10²}=17,32 km/10min \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 17,32\cdot 6=103,92km/h \end{eqnarray*}$

Es handelt sich ja um eine Durchschnittsgeschwindigkeit von daher sind 103,92km/h doch ein angemessener Wert.
Oder nicht?

31.05.2012, 20:46

Gualtiero

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Ob die Aufgabe realistisch ist, kann ich nur laienhaft beurteilen, daher lasse ich es gleich bleiben.

Du hast doch im Eingangspost eine Geschwindigkeit von 300km/h erwähnt. Damit kann man schon rechen.

km als Einheit vorausgesetzt, ist der Betrag des Richtungsvektors $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}km \end{eqnarray*}$ . Der ist in 300km genau $\begin{eqnarray*} 100 \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ -mal enthalten.

Wenn Du jetzt den Richtungsvektor mit $\begin{eqnarray*} \frac{100 \cdot \sqrt{3}}{60} \end{eqnarray*}$ skalierst, hat er genau den Betrag, den das Flugzeug in einer Minute bei 300km/h zurücklegt.

Vielleicht ist Dir das eine Hilfe.

31.05.2012, 21:33

burdayim

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Das bringt mich weiter danke Big Laugh

Ziel ist es ja die Koordinaten am Ende zu bestimmen.

Nun hab ich ja
$\begin{eqnarray*} (\frac{100\cdot \sqrt{3} }{60} )\cdot 10=28,87 \end{eqnarray*}$

Doch womuss ich diese 28,87 einbringen um die Koodinaten zu finden, etwa bei t?

31.05.2012, 22:05

Dopap

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Zitat:

Original von burdayim

Nun hab ich ja
$\begin{eqnarray*} (\frac{100\cdot \sqrt{3} }{60} )\cdot 10=28,87 \end{eqnarray*}$

Das ist garnichts.

Nach der skalierung sieht deine Halbgerade so aus:

$\begin{eqnarray*} \vec x(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} \frac{100\cdot \sqrt{3} }{60}\\ \frac{100\cdot \sqrt{3} }{60} \\ \frac{100\cdot \sqrt{3} }{60} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um nun die Ortskoordinate für einen Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t=t_1 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen ist für t das konkrete $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ einzusetzen, auszumultiplizieren und zu addieren.
In deinem Fall t=10 , also

$\begin{eqnarray*} \vec x (10)=... \end{eqnarray*}$

eventuell den Geschwindigkeitsvektor dezimal schreiben.

31.05.2012, 22:38

burdayim

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Somit komme ich auf.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} +10\begin{pmatrix} \frac{100\sqrt{3} }{60} \\ \frac{100\sqrt{3} }{60} \\ \frac{100\sqrt{3} }{60} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 29,86 \\ 25,86 \\ 29,86 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

31.05.2012, 23:04

Dopap

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ja, so ist das gemeint Freude

Man erkennt aber, dass die x,y-Koordinaten realistisch, die z-Koordinate mit 29 km Höhe völlig unrealistisch ist.
Deshalb wollte ich $\begin{eqnarray*} v_z \end{eqnarray*}$ auf 10% setzen und wir hätten dann ca. 4 km für die Höhe nach 10 min.

31.05.2012, 23:12

burdayim

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Zitat:

Original von Dopap
ja, so ist das gemeint Freude

Stimmt ist wirklich zu Hoch, aber der Richtungsvektor ist leider vorgegeben.

Eine weitere Aufgabe und auch die letzte wäre:
Wann das Flugzeug die Landesgrenze überschreiten würde:
$\begin{eqnarray*} E = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann hab ich einfach die x-Koordinaten gleichung gleich gesetzt um t herauszufinden.

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{100\sqrt{3} }{60} t = 6 \end{eqnarray*}$
dann hatte ich für t=1,732

Richtig so? =)

31.05.2012, 23:38

Dopap

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wegen der besonderen Lage der Grenze ist das in Ordnung. Wink

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bitte nicht in einer direkten Antwort ein Vollzitat verwenden, das ist Datenmüll

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