Isometrie

30.05.2012, 16:15	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Isometrie Hallo zusammen Sei $\begin{eqnarray} (V,\phi) \end{eqnarray}$ ein K-VR mit nicht-ausgerarteter Sesquilinearform $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ . Nun soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} (V,\phi) \end{eqnarray}$ isometrische zu $\begin{eqnarray} (V,\phi) \end{eqnarray}$ ist. Ist das nicht trivial? Es müsste ja gelten: $\begin{eqnarray} v,w\in V: \phi(v,w)=\phi(f(v),f(w)) \end{eqnarray}$ Dies würde ja stimmen für $\begin{eqnarray} f=id \end{eqnarray}$ . Oder steckt da mehr dahinter? Danke schonmal.
30.05.2012, 17:23	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn das so die Aufgabenstellung ist, dann ist "trivial" in der Tat die richtige Beschreibung
30.05.2012, 17:28	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke War nur die a) einer Aufgabe, aber trotzdem...
30.05.2012, 17:40	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe geht so weiter: Sei $\begin{eqnarray} (U,\Omega) \end{eqnarray}$ ein weiterer K-VR und es gilt: U isometrisch zu V. Zeigen soll ich nun, dass V auch isometrisch zu U ist. Ist das etwa genauso? Es gilt: $\begin{eqnarray} \Omega(x,y)=\phi(f(x),f(y)) \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt auf jedes Element $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ anwende, steht da doch $\begin{eqnarray} \Omega(f^{-1}(x),f^{-1}(y))=\phi(f^{-1}(f(x)),f^{-1}(f(y)))=\phi(x,y) \end{eqnarray}$ Ist das so schon gezeigt?
30.05.2012, 17:50	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Generell die richtige Idee, aber du musst aufpassen: So wie du anfängst, sind x und y Elemente aus U. Am Ende sind aber x und y plötzlich Elemente aus V... D.h. du musst nach $\begin{eqnarray} \Omega(x,y) = \phi(f(x),f(y)) \end{eqnarray}$ eher so weitermachen: Seien $\begin{eqnarray} a,b \in V \end{eqnarray}$ beliebig und $\begin{eqnarray} x = f^{-1}(a), y = f^{-1}(b) \end{eqnarray}$ . Dann $\begin{eqnarray} \phi(a,b) = ... \end{eqnarray}$
30.05.2012, 17:58	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte dann: $\begin{eqnarray} \phi(a,b)=\phi(f(f^{-1}(a)),f(f^{-1}(b)))=\phi(f(x),f(y)=\Omega(x,y)=\Omega(f^{-1}(a),f^{-1}(b)) \end{eqnarray}$
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30.05.2012, 18:07	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau
30.05.2012, 18:15	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleich könntest du mir bei der dritten ( und letzten ) Teilaufgabe auch noch behilflich sein. $\begin{eqnarray} (W,\Psi) \end{eqnarray}$ ist ein weiterer K-VR. Es gilt U isometrisch zu V, V isometrisch zu W. Zeigen sie: U isometrisch zu W. $\begin{eqnarray} \Omega(x,y)=\phi(f(x),f(y))=\Psi(g(f(x)),g(f(y))) \end{eqnarray}$ Daraus würde doch direkt folgen, dass U isometrisch zu W ist, oder nicht?
30.05.2012, 21:26	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das ist es letztendlich schon. Jetzt versteh ich auch den Sinn der ersten Aufgabe. Hier sollte gezeigt werden, dass die Relation "isometrisch" eine Äquivalenzrelation ist. In der ersten Teilaufgabe kam die Reflexivität, dann die Symmetrie und nun die Transitivität.
31.05.2012, 10:26	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir für dein Hilfe

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