Vollständige Induktion

30.05.2012, 18:27

Sahdow

Vollständige Induktion

Hi ich lerne gerade die vollständige Induktion
und da ist in meinem Buch folgendes Beispiel:

es wird behauptet: für jedes n aus N gilt A(n): 1 + 2 + ... + (n-1) + n = (n(n+1)) / 2

Induktionsanfang: 1 = 1*2 / 2 = 1 >>> WAHR

Induktionsvoraussetzung: für jedes n aus N gilt
A(n): 1 + 2 + ... + (n-1) + n = (n(n+1)) / 2

hier meine erste frage: ist die voraussetzung immer gleich wie die erste ausgangsbehauptung oben?

dann:
Induktionsbehauptung: Es gilt auch
A(n+1) >>>1 + 2 + ... + (n + 1 -1) + (n+1) = (n+1(n+1+1)) / 2
also überall wo vorher n war einfach n+1 einsetzen

dann
Induktionsschluss: Aus derAddition von (n+1) bei der Induktionsvoraussetzung ergibt sich:
1 + 2 + ... + (n-1) + n + (n+1) =((n(n+1)) / 2) + (n+1)

dann steht da folgendes: Durch weiteres Ausrechnen der rechten Seite erhält man:
1 + 2 + ... + n + (n+1) = (n(n+1) + 2(n+1)) / 2

Jetzt die wichtigste Frage: Im Text steht zwar "Durch Ausrechnen auf der rechten Seite" aber es ist ja auch auf fder linken Seite was gerechnet worden und zwar
fehlt plötzlich das (n-1) und ich hab keine Ahnung wo es hin ist

und den nächsten schritt versteh ich auch nicht
1 + 2 + ... + n + (n+1) = ( (n+1) * (n+2) ) / 2

ich hoffe es kann mir jemand von euch helfen!

30.05.2012, 18:59

thechus

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Hey!

Zitat:

hier meine erste frage: ist die voraussetzung immer gleich wie die erste ausgangsbehauptung oben?

Kann man so sagen, ja.

Zitat:

dann: Induktionsbehauptung: Es gilt auch A(n+1) >>>1 + 2 + ... + (n + 1 -1) + (n+1) = (n+1(n+1+1)) / 2 also überall wo vorher n war einfach n+1 einsetzen

Ja, du nimmst hier an, dass die Folge auch für das nächste n (n + 1) gilt.

Zitat:

Jetzt die wichtigste Frage: Im Text steht zwar "Durch Ausrechnen auf der rechten Seite" aber es ist ja auch auf fder linken Seite was gerechnet worden und zwar fehlt plötzlich das (n-1) und ich hab keine Ahnung wo es hin ist

Hmm...

Ich weiß nicht einmal warum es da stand.
Die haben oben:

Zitat:

es wird behauptet: für jedes n aus N gilt A(n): 1 + 2 + ... + (n-1) + n = (n(n+1)) / 2

wohl bei 0 angefangen. Und unten nicht mehr...
Tut mir leid das kann ich mir nicht erklären. Normalerweise gehört das nicht so? Sorry verwirrt

Zitat:

und den nächsten schritt versteh ich auch nicht 1 + 2 + ... + n + (n+1) = ( (n+1) * (n+2) ) / 2

Dazu:
Hier wurde einfach ausmultipliziert und faktorisiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n + 1)}{2} + \frac{2(n + 1)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n + 1) + 2(n + 1)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n² + n + 2n + 2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n + 1) (n + 2)}{2} \end{eqnarray*}$

Hier nochmal ein kleiner Link.
Da hatte ich selber auch ein Problem damit.
Weiter unten steht die Aufgabe, die du berechnest:

Arithmetische Zahlenfolgen - Induktion

Hoffe das konnte helfen,

Gruß
thechus

30.05.2012, 19:02

rigel

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bei der Induktionsvoraussetzung steht nicht für JEDES n sondern für EIN BELIEBIGES n. das ist ein unterschied zu der behauptung oben.

das (n-1) gibt es immer noch...es wurde nur nicht mehr hingeschrieben

(n(n+1) + 2(n+1)) / 2
jetzt im zähler (n+1) ausklammern
--->((n+1)*(n+2))/2

31.05.2012, 08:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von thechus

Zitat:

dann: Induktionsbehauptung: Es gilt auch A(n+1) >>>1 + 2 + ... + (n + 1 -1) + (n+1) = (n+1(n+1+1)) / 2 also überall wo vorher n war einfach n+1 einsetzen

Ja, du nimmst hier an, dass die Folge auch für das nächste n (n + 1) gilt.

Das wird nicht angenommen, sondern genau das ist gerade zu zeigen.

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