Komplexes Polynom mit reeller Nullstelle

30.05.2012, 18:53	GoTo	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexes Polynom mit reeller Nullstelle Hallo Forengemeinde, ich soll ein Beispiel konstruieren, dass zu einer Nullstelle $\begin{eqnarray} z_0 \epsilon \mathbb R \end{eqnarray}$ zu einem komplexen Polynom mit reellen Koeffizienten die komplex kunjungierte Nullstelle nicht wieder eine Nullstelle darstellt. Somit $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ keine "Doppelnullstelle" darstellt. Ist das überhaupt möglich? Ich dachte bei komplexen Polynomen ist die komplex konjungierte Nullstelle immer eine weitere Nullstelle, egal ab die Nullstelle reelle oder komplex ist: Sei $\begin{eqnarray} f(z)=z-1 \end{eqnarray}$ so folgt: $\begin{eqnarray} f(z_0)=0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z_0=1 \end{eqnarray}$ Und jetzt gilt aber doch: $\begin{eqnarray} z^_0=1^=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(z^_0=1^=1)=0=f(z_o) \end{eqnarray}$ Somit ist z_0 doch "Doppelnullstelle". Danke für eure Hilfe.
30.05.2012, 22:28	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexes Polynom mit reeller Nullstelle Ja, ein komplexes Polynom mit ausschließlich reellen Koeffizienten hat nur paarweise auftretende Nullstellen. Der Beweis ist einfach und beruht auf der Tatsache, dass die Konjugation ein Körperisomorphismus ist (also insb. ein Homomorphismus, also mit der Multiplikation und der Addition vertauscht). Betrachte nun ein komplexes Polynom mit reellen Koeffizienten a_n: $\begin{eqnarray} p(z):=\sum_{i=0}^n a_n z^n \end{eqnarray}$ dann gilt für eine Nullstelle nach Definition $\begin{eqnarray} p(z)=0 \end{eqnarray}$ . Nun gilt für das konjugierte z: $\begin{eqnarray} p(\overline{z})=\sum_{i=0}^n a_n \overline{z}^n=\sum_{i=0}^n a_n \overline{z^n} \end{eqnarray}$ Da nun die Koeff. reell sind, kann man alles rausziehen: $\begin{eqnarray} =\sum_{i=0}^n \overline{a_n z^n}=\overline{\sum_{i=0}^n a_n \overline{z^n}}=\overline{0}=0 \end{eqnarray}$ Et voilà. Und da das komplex konjugierte einer reellen Zahl eine reelle Zahl ist, gilt das natürlich auch für reelle Zahlen. Allerdings tritt die Nullstelle dann i.d.R. einzeln auf. Gruß MI
30.05.2012, 22:54	GoTo	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. genau diesen Beweise kannte ich auch. Aber das "in der Regel treten reelle Nullstellen dann nur einfach auf", macht mich neugierig. Warum tritt die dann einzeln auf? Hättest du vielleicht mal ein Beispiel?
31.05.2012, 23:21	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Gemeint ist folgendes: Nimm bspw. das Polynom p(x)=x-1. Das hat offenbar eine Nullstelle bei 1. Jede der Nullstellen ist also EINFACH. Ich kann also nicht wirklich sagen, dass ich hier ein Paar von komplex konjugierten Nullstellen habe, weil ich nur eine Nullstelle habe (die zu sich selbst komplex konjugiert ist). Hingegen hätte das Polynom p(x)=(x-1)^2 zwei Nullstellen bei 1. Die Nullstelle 1 hat eben Vielfachheit 1 (und so stimmt wieder die Aussage des Fund.satzes, dass jedes komplexe Polynom n-ten Grades n Nullstellen mit Vielfachheiten hat). Das meinte ich, mehr nicht . Gruß MI PS: In allen Indizes oben muss natürlich in der Summe ein i statt n stehen. Nur der Vollständigkeit halber...

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