Integral einer Ableitung

30.05.2012, 20:52	Mads85	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral einer Ableitung Ich will folgendes berechnen: $\begin{eqnarray} \int_0^c \! \frac{\partial}{\partial x} (a\frac{\partial f(x)}{\partial x} ) \, dx \end{eqnarray}$ Missachte ich eine Regel, wenn ich einfach die äußere partielle Ableitung mit dem Integral verschwinden lasse? Oder darf ich das so machen? Also: $\begin{eqnarray} \int_0^c \! \frac{\partial}{\partial x} (a\frac{\partial f(x)}{\partial x} ) \, dx=(a\frac{\partial f(x)}{\partial x} ) \, dx \end{eqnarray}$
30.05.2012, 23:10	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
du musst die grenzen beachten, und das dx verschwindet natürlich, aber sonst kannst du das so machen
31.05.2012, 08:54	Mads85	Auf diesen Beitrag antworten »
Upps, das dx habe ich doch glatt vergessen wegzunehmen. Ja die Grenzen müssen natürlich gesetzt werden: $\begin{eqnarray} \int_0^c \! \frac{\partial}{\partial x} (a\frac{\partial f(x)}{\partial x} ) \, dx =\left[a\frac{\partial f(x)}{\partial x} \right]_{0}^{c} \end{eqnarray}$ a ist ein Parameter, der nicht von x abhängig ist: $\begin{eqnarray} \int_0^c \! \frac{\partial}{\partial x} (a\frac{\partial f(x)}{\partial x} ) \, dx =a\left[\frac{\partial f(x)}{\partial x} \right]_{0}^{c} \end{eqnarray}$ So müsste das doch jetzt richtig sein?
02.06.2012, 21:48	Mads85	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt das ganze denn jetzt so?
04.06.2012, 13:42	Mads85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es jetzt manuell ausgeführt und ja es stimmt, denn: 1. Produktregel $\begin{eqnarray} \int_0^c \! \frac{\partial}{\partial x} (a\frac{\partial f(x)}{\partial x} ) \, dx =\int_0^c \!\frac{\partial a}{\partial x}\frac{\partial f(x)}{\partial x}dx+\int_0^c \!a\frac{ \partial^{2} f(x)}{\partial x^{2}}dx \end{eqnarray}$ 2. Produktintegration angewendet auf den ersten Term: $\begin{eqnarray} \int_0^c \!\frac{\partial a}{\partial x}\frac{\partial f(x)}{\partial x}dx=a\left[\frac{\partial f(x)}{\partial x}\right]_{0}^{c}-\int_0^c a\frac{\partial^{2} f(x)}{\partial x^{2}}dx \end{eqnarray}$ Das dann oben eingesetzt ergibt: $\begin{eqnarray} \int_0^c \! \frac{\partial}{\partial x} (a\frac{\partial f(x)}{\partial x} ) \, dx =a\left[\frac{\partial f(x)}{\partial x}\right]_{0}^{c}-\int_0^c a\frac{\partial^{2} f(x)}{\partial x^{2}}dx+\int_0^c a\frac{\partial^{2} f(x)}{\partial x^{2}}dx=a\left[\frac{\partial f(x)}{\partial x}\right]_{0}^{c} \end{eqnarray}$ q.e.d. Heureka ;-)

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