Teilräume

30.05.2012, 21:51

willi333

Teilräume

Hallo!

Kann mir bitte jemand erklären, wie man überprüft, ob ein Vektorraum Teilraum eines anderen ist?

Beispiel:

Überprüfe, ob W Teilraum des Vektorraums V=R3 ist.

$\begin{eqnarray*} W={(a,b,c) wobei (a,b,c)\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 0 &1 &1 \\ 0 &1 &1 \end{pmatrix} =(1,1,1)} \end{eqnarray*}$

Ich habe überhaupt keine Ahnung, wie ich dieses Beispiel (und andere) lösen soll.
Bitte um Hilfe.
Danke

30.05.2012, 22:03

Cel

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Hallo!

Also, das, was da steht, macht für mich wenig Sinn. Ein Screenshot ist wohl angebracht.

30.05.2012, 22:44

IfindU

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Cel:
Ich tippe mal es ist die Matrixmultiplikation gemeint, also
$\begin{eqnarray*} W = \{(a,b,c) \in \mathbb R^3 \colon (a\; b\; c) M = (1 \; 1 \;1)\} \end{eqnarray*}$ , wobei M die gegebene Matrix ist.

31.05.2012, 14:11

Math1986

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RE: Teilräume
[Artikel] Untervektorraum

02.06.2012, 12:59

Cel

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@IfindU: Dankeschön, manchmal hat man echt ein Brett vor'm Kopf! Forum Kloppe

02.06.2012, 14:26

willi333

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Zitat:

1.) U ist nichtleer
2.) U ist abgeschlossen bzgl. der Addition
3.) U ist abgeschlossen bzgl. der Skalarmultiplikation
Bei 1 bietet es sich immer an, zu prüfen ob der Nullvektor enthalten ist. Ist das nicht der Fall, wird U kein UVR sein. Man wird bei 2 oder 3 ein Gegenbeipiel finden. Zur Überprüfung von 2 und 3muss man die Definition der Menge U benutzen.

Der Nullvektor kann nicht enthalten sein, denn dan währe (a,b,c)*M = (0,0,0)
Heißt dass dann, dass Punkt 1 nicht erfüllt ist?

Bei Punkt 2 und 3 blick ich nicht durch verwirrt

02.06.2012, 15:31

Cel

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Genau, der Nullvektor liegt da nicht drin, deswegen ist es kein UVR. Punkt 1 ist zwar erfüllt, aber die Forderung nach dem Nullvektor ist äquivalent zu 1,2,3.

Den Rest musst du nicht überprüfen, aber verstehen solltest du ihn schon.

Du hast zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} (a_1, b_1, c_1) \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a_2, b_2, c_2) \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , die in der Menge liegen, sie erfüllen also die gewünschte Bedingung. Zu zeigen ist dann, dass auch $\begin{eqnarray*} (a_1,b_1,c_1) + (a_2,b_2,c_2) \end{eqnarray*}$ in der Menge enthalten ist.

03.06.2012, 12:44

willi333

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OK, mit solchen Zahlenbeispielen versteh ichs jetzt einigermaßen.
Danke dafür! Freude

Aber wie funktioniert das bei solch einem Beispiel:

Es sei V der Vektorraum der nXn Matrizen über R. Prüfe, ob W ein Teilraum von V ist.
$\begin{eqnarray*} W=\left\{ A\in V:AT=TA\right\} \end{eqnarray*}$
für eine gegebene Matrix T.
D.h. W ist die Menge aller mit T (in der Matrixmultiplikation) vertauschbarer Matrizen.

Meine bisherigen Überlegungen:
Da es vertauschbare Matrizen gibt ist W nicht leer.
Für Punkt zwei und drei Muss ich jetzt entweder ein Gegenbeispiel finden, oder beweisen, dass diese zutreffen.

Wie mach ich das?

03.06.2012, 13:13

Cel

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Wenn dir spontan kein Gegenbeispiel einfällt, versuche zu beweisen, dass das ein UVR ist (ist es nämlich):

Ist die Nullmatrix drin? Sie muss drin sein, sonst ist es kein UVR. Wie gesagt, prüfe bei 1 immer, ob die Null (hier ist das die Nullmatrix) enthalten ist.

Und bei Punkt 2 und 3 wie oben.

Gegeben seien Matrizen $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ , die in W liegen. Es gilt also $\begin{eqnarray*} A_1T = TA_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2T=TA_2 \end{eqnarray*}$ . Liegt dann die Summe $\begin{eqnarray*} A_1+A_2 \end{eqnarray*}$ in W, gilt $\begin{eqnarray*} (A_1+A_2)T = T(A_1+A_2) \end{eqnarray*}$ ? Nutze dafür Rechengesetze für Matrizen.

Analog für das Vielfache $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot A_1 \end{eqnarray*}$ . Das muss ja auch in W liegen.

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