orthogonale Komplemente

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1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »
orthogonale Komplemente
Hallo zusammen smile

Sei V der Vektorraum der Polynom vom Grad <=4 und Nullstelle bei 1.

. Sei .

Jetzt soll ich das links- bzw. rechtsseitige Komplement von M bestimmen.

Ich nehme mir also ein beliebiges Polynom aus V, bilde das Skalarprodukt und setzte das gleich 0.

Sei

Dann

Jetzt bin ich mir nicht mehr so sicher.
Da hätte ich z.B den Lösungsraum:

Ich würde mir über eure Hilfe freuen smile
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist einiges durcheinander:
Einmal ist ein Polynom, dann ein Unterraum? Der Dimension 2 hat? verwirrt
Dann ist das kein Skalarprodukt, da nicht symmetrisch, sondern nur eine Bilinearform auf
Und wie du auf den "Lösungsraum" kommst, ist auch nicht klar.
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal vielen Dank für deine Antwort.

Ich denke, ist ein Polynom und ich soll bzw. bestimmen.

Stimmt denn der Ansatz, dass ich ein beliebiges Polynom nehme (welches eine Nullstelle bei X=1 hat) und dann bzw. berechne?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 1nstinct
Ich denke, ist ein Polynom und ich soll bzw. bestimmen.

Du verwechselst das Polynom mit der Menge, die nur das Polynom enthält, und oben auch mit dem von ihm erzeugten Unterraum. Und worauf ich noch hinauswollte, der Unterraum hat sicher nicht Dimension 2, da er ja nur von einem Element erzeugt wird.

Zitat:
Stimmt denn der Ansatz, dass ich ein beliebiges Polynom nehme (welches eine Nullstelle bei X=1 hat) und dann bzw. berechne?

Ja, der Ansatz ist richtig. Man kann ein solches Polynom auch immer schreiben als
Damit sparst du dir schon mal eine Variable.
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich versuchs mal mit deinem Polynom P:



Ist dann?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Und was kann man über die Dimension von sagen? (beachte dass Kern eines Homomorphismus ist, wenn K der zugrundeliegende Körper ist.)
 
 
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm.. Villeicht , Also aus der Dimensionsformel, da der Kern ist und das Bild?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte erst nachdenken. Wie kann denn M das Bild sein, wenn der Homomorphismus nach K abbildet? Außerdem ist nicht dim(V)=4.
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich bin mir da wirklich nicht sicher.

Die . Der Körper K, von dem du sprichtst, müsste sein.
(Ich hab nicht erwähnt, dass V alle Polynome vom Grad <=4 über sind, entschuldigung). Wenn , dann wäre ja

Danke nochmal für deine Hilfe smile
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss mich entschuldigen, dim(V) ist tatsächlich gleich 4, wenn V= "Vektorraum der Polynome vom Grad 4 mit Nullstelle bei 1" wie in deinem 1. Post. Zur Entschädigung mal eine ausführlichere Antwort:

Hast du dir eigentlich schon klargemacht, dass diese Polynome überhaupt einen Vektorraum bilden?
Das sieht man z.B. mittels der erwähnten Darstellung als
(Es sind ja nur die Unterraumaxiome zu überprüfen; dass die Menge aller Polyome einen Vektorraum bildet, wissen wir schon.)
Dass die Dimension 4 ist, sieht man daran, dass jedes Polynom sich eindeutig in obiger Form darstellen lässt und die Abbildung mit ein Isomorphismus ist.
Du scheinst noch etwas Probleme mit diesen Grundlagen zu haben, also überleg dir ruhig mal im Detail, warum das so stimmt.

Nun haben wir die Abbildung mit
(ich hoffe dir war oben klar, dass es um diese Abbildung geht.)
Der Kern ist, wie du herausgefunden hast, gleich
Und das Bild ist eindimensional. (warum?)
Also mit Dimensionsformel (wie du schon überlegt hattest)
Ich denke, als diesen Kern darzustellen, sollte das "Bestimmen" dieses Komplementes abschließen.

Für das andere Komplement ist die Lage ähnlich.
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Danke nochmal für deine Mühe smile

Zitat:
Nun haben wir die Abbildung mit


Das Bild müsste eindimensional sein, da und die Addition aller dieser b wieder ein Element in ergibt.


Könnte ich als Antwort dann schreiben:

mit
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 1nstinct
Das Bild müsste eindimensional sein, da und die Addition aller dieser b wieder ein Element in ergibt.

Das ist nicht die Begründung dafür, dass die dim 1 ist. Das Bild ist ein Unterraum von K und hat daher dim 0 oder 1, da
dim 0 hat nur der Nullraum, und dass das Bild nicht der Nullraum ist, kann man schnell sehen(wie?).

Zitat:

Könnte ich als Antwort dann schreiben:

mit

Ja, wobei du das Minus in natürlich auch weglassen kannst.
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das ist nicht die Begründung dafür, dass die dim 1 ist. Das Bild ist ein Unterraum von K und hat daher dim 0 oder 1, da dim 0 hat nur der Nullraum, und dass das Bild nicht der Nullraum ist, kann man schnell widerlegen (wie?).


Naja, beim Nullraum wäre ja die einzige Lösung , da aber z.B. auch eine Lösung ist, muss die dim=1 sein.

Ich habe auch schon versucht, zu berechnen.

Bei mir ist .
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 1nstinct
Naja, beim Nullraum wäre ja die einzige Lösung , da aber z.B. auch eine Lösung ist, muss die dim=1 sein.

Ok.

Zitat:

Ich habe auch schon versucht, zu berechnen.

Bei mir ist .

Das kann nicht sein. Es sind ja jetzt die P gesucht mit
In dieser Gleichung kommt nur der 0. Koeffizient von P wirklich vor.
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, ich hatte mich verguckt. Ich war schon bei .



Jetzt müsste es passen Augenzwinkern
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Oder kurz

Du könntest natürlich, um die Mengen anders darzustellen, auch jeweils 3 Polynome angeben, die eine Basis bilden. Dazu genügt es, Polynome () zu nehmen, die verschiedene Grade haben und die definierenden Bedingungen der 2 Komplemente von M erfüllen.
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir vielmals juffo-wup für deine wirklich ausfühliche Hilfe. Mir ist einiges klar geworden smile .

Eine Frage hätt ich noch.

Ich bekomme für raus.

Also müsste ja alle Polynome aus V enthalten?!
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist korrekt. Die Bilinearform ist "entartet", nennt man das dann auch wenn es so ein Element wie hier N gibt.
Man sieht auch, dass die Dimensionen von und nicht gleich sein müssen.
Dass solche Dinge im Allgemeinen passieren können, darauf soll die Aufgabe wohl auch unter anderem hinweisen. Augenzwinkern
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke smile

Als letztes muss ich noch die orthogonalen Komplemente von

Könnte ich da nicht getrennt zuerst die orth. Kompl. von brechnen und dann schauen, was noch zusätzlich gelten muss, damit diese auch othogonal zu sind?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es läuft dann auf den Schnitt der Komplemente beider Mengen hinaus.
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Ist jetzt villeicht eine dumme Frage, aber sind doch beides Mengen. Warum schreibt man dann einmal normale Klammern und einmal geschwungene?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »


Die runden Klammern sind nur damit klar ist, worauf sich das bezieht.
Übrigens sind natürlich die Komplemente von gleich denen von , das davor kann man sich also auch sparen, wenn man will.
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir nochmals für deine Mühe und Ausdauer Augenzwinkern
Du hast mir wirklich sehr geholfen.

Gute Nacht Wink
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