Reihenwert

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Funghi Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenwert
Die Folge sei rekursiv definiert durch:

und


Beweise:
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenwert
Und wieder einmal eine Anwendung des Teleskoptricks, wie könnte es auch anders sein... Big Laugh Du musst hier einfach eine Darstellung



für eine geeignete Nullfolge finden...
Funghi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenwert
Okay,
ich habe damit folgende Resultate:

(1)

(2)

Danke für den Tipp!
Valdas Ivanauskas Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenwert
Bei (2) hat sich offenbar ein kleiner Tippfehler eingeschlichen.

Korrekt wäre:

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Index etwas verschoben also

.

Wobei strenggenommen auch noch eines Beweises bedarf, die Konvergenz ist ja doch mit relativ langsam.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenwert
Ja, ich selbst hatte die Folge () gar nicht explizit, sondern durch



definiert und für den Nachweis von



die Rekursion direkt verwendet, muss aber gestehen, dass ich bislang die Nullfolgeneigenschaft von () noch nicht nachgewiesen habe... Für mich wäre daher interessant die Frage: Kann man das eigentlich über die Rekursion, statt über die explizite Formel sehen? verwirrt
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na über dein wird die ursprünglich -Iteration ja zu

mit Start

Und nun kann man damit per Induktion z.B. für alle nachweisen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, super... Freude

Immerhin würde das dann bedeuten, dass man mit der Rekursion allein durchkommt, ohne die expliziten Formeln, obwohl die natürlich auch nett sind... Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man hätte natürlich auch über den Zusammenhang zwischen Reihen und unendlichen Produkten argumentieren können:

Für eine Folge mit konvergiert ja genau dann gegen einen echt positiven Wert, falls konvergent ist. Was hier mit nicht der Fall ist (harmonische Reihe), also ist das unendliche Produkt gleich Null.

Wirft aber vielleicht nur unangenehme Fragen auf, ob man diesen Zusammenhang benutzen darf... Augenzwinkern
Funghi Auf diesen Beitrag antworten »

Liebe Freunde der Zahlenfolgen, ich hätt da noch ne Frage:

Wie ist das eigentlich jetzt mit dem Wert der Reihe: ?

Mit den bisherigen Resultaten glaubte ich damit zurecht zu kommen...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die alternierende Reihe an sich ist konvergent nach Leibniz, keine Frage. Aber der Teleskopeffekt ist dann weg, zumindest mit den hier - da musst du dir zur Berechnung des Wertes was anderes einfallen lassen. Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich würde da in etwa auf



tippen... Kommt das ungefähr hin? verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es sieht wohl so aus, als könnte man für die Binomische Reihe

,

aufstellen, was sowohl das obige als auch ergibt.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, offenbar führen viele Wege nach Rom... Freude

Ich selbst bin von der Darstellung



ausgegangen, womit dann gilt



bzw.

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