Gamma-Funktion: Eigenschaften zeigen

31.05.2012, 14:13	KnowingLizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Gamma-Funktion: Eigenschaften zeigen Hallo Leute Habe mich gerade mit einer Aufgabe zur Gamma-Funktion auseinandergesetzt, und zwar ist diese für x>0 in folgender Form gegeben: $\begin{eqnarray} \Gamma(x):=\int_0^{\infty} \! t^{x-1}e^{-t} \, dt \end{eqnarray}$ (die Integraldarstellung, die auf Euler zurückgeht) Zuerst sollte ich die üblichen Eigenschaften der Gamma-Funktion zeigen, d.h. z.B. $\begin{eqnarray} \Gamma(x+y)=x\Gamma(x) \end{eqnarray}$ , das war kein Problem. Nun will ich aber folgendes zeigen, aus der Vorlesung stünde mir hier z.B. die Leibnizsche Regel zur Verfügung, auch, wenn ich nicht weiß, wie die mir hier helfen kann, also: Ich soll nun zeigen, dass die Gammafunktion beliebig oft differenzierbar ist und, dass für die k-te Ableitung und x>0 gilt: $\begin{eqnarray} \Gamma^{(k)}=\int_0^{\infty} \! t^{x-1}(\ln t)^ke^{-t} \, dt \end{eqnarray*}$ , also muss ich letztlich zeigen, dass ich für die Differentiation des Integrals einfach Integral und d/dx vertauschen darf. Würde ich das uneigentliche Integral nun als Limes einer Funktionenfolge schreiben (d.h. hier eine Folge der Integrale mit einer Folge als obere Grenze der Integrale, die eben gegen unendlich geht), dann müsste ich, um zu zeigen, dass ich den Limes und die Differentiation vertauschen darf, zeigen, dass diese "Integralfolge" punktweise konvergiert und die Ableitung derselbigen (die ich dann mit der Leibnizschen Regel bestimmen könnte) eben gleichmäßig konvergiert. Nur, wie mache ich das, oder gibt's da einen besseren Weg, einen Standardweg gar?
01.06.2012, 11:28	KnowingLizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ich bin mir inzwischen ziemlich sicher, dass ich $\begin{eqnarray} \Gamma_n(x):=\int_{1/n}^{n} \! t^{x-1}e^{-t} \, dt \end{eqnarray}$ betrachte und dann zeige, dass diese Funktionenfolge punktweise konvergiert gegen $\begin{eqnarray} \Gamma(x) \end{eqnarray}$ . Dann muss ich noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \Gamma_n(x)' \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}\int_{1/n}^{n} \! t^{x-1}e^{-t} \, dt = \int_{1/n}^{n} \! t^{x-1}(\ln t)e^{-t} \, dt \end{eqnarray}$ (Leibnizsche Regel) gleichmäßig (!) konvergiert. Dann hätte ich das Ganze schonmal für die erste Ableitung gezeigt, dann bliebe der Rest wohl per Induktion... Nur, wie bewerkstellige ich das? Mit Beweisen zu gleichmäßiger Konvergenz tat ich mich schon immer schwer. Ich wäre jedem super, super dankbar, der mir da auf die Sprünge hilft
01.06.2012, 14:27	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte man nicht auch zeigen, dass die Gammafunktion für x>0 konvergiert. Und dann begründen, dass die Gammafunktion auf ihrem Konvergenzradius stetig und beliebig oft differnzierbar ist?
01.06.2012, 19:33	KnowingLizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius? Das ist mir jetzt nur bei Potenzreihen ein Begriff, meine Gammafunktion ist hier aber ja in Integralform gegeben... Oder was meinst du genauer? Finde den Ansatz gerade irgendwie interessant!

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