Norm gleich Determinante einer speziellen Matrix

31.05.2012, 14:43

mathinitus

Norm gleich Determinante einer speziellen Matrix

Hallo,

sei K algebraischer Zahlenkörper und $\begin{eqnarray*} x\in O_K \end{eqnarray*}$ . Sei nun $\begin{eqnarray*} w_1,\dots,w_n \end{eqnarray*}$ eine Z-Basis von $\begin{eqnarray*} O_K \end{eqnarray*}$ derart, dass es ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} c_1,\dots,c_n \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} c_1w_1,\dots,c_nw_n \end{eqnarray*}$ eine Z-Basis von (x) ist.
Nun ist jedoch auch $\begin{eqnarray*} xw_1,\dots,xw_n \end{eqnarray*}$ eine Z-Basis von (x). Also gibt es ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} xw_i=\sum_{j=1}^na_{ij}c_jw_j \end{eqnarray*}$ .

Wie zeige ich nun, dass $\begin{eqnarray*} N_{K/\mathbb{Q}}(x)=\det((a_{ij}c_j)) \end{eqnarray*}$ gilt?

Ich habe mir dazu überlegt: Sei $\begin{eqnarray*} A:=(a_{ij}c_j) \end{eqnarray*}$ und w der Spaltenvektor mit den Einträgen $\begin{eqnarray*} w_1,\dots,w_n \end{eqnarray*}$ . Dann gilt offensichtlich $\begin{eqnarray*} xw=Aw \end{eqnarray*}$ . x ist also Eigenwert zum Eigenvektor w von A. Also muss das charakteristische Polynom von A Vielfaches vom Minimalpolynom von x sein.
Ein andere Weg wäre dieser: Wenn die Matrix A gerade die lineare Abbildung wäre, die in K die Multiplikation mit x darstellt, wären wir auch fertig, dafür müssten wir aber für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} q\in \mathbb{Q}^n \end{eqnarray*}$ die Gleichung
$\begin{eqnarray*} (Aq)^\top w = xq^\top w \end{eqnarray*}$
nachweisen. Das klappt aber, glaube ich, nicht.

Könnt ihr mir helfen?

Edit: Ich hatte oben $\begin{eqnarray*} xw=Ax \end{eqnarray*}$ stehen, meinte aber $\begin{eqnarray*} xw=Aw \end{eqnarray*}$ . Das habe ich eben korrigiert.

31.05.2012, 23:14

jester.

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Der zweite Ansatz klingt für mich doch vielversprechend, auch wenn ich diese Gleichung, deren Richtigkeit du zeigen möchtest, überhaupt nicht einsehen kann. Aber mal wie folgt argumentiert:
$\begin{eqnarray*} (w_1,...,w_n) \end{eqnarray*}$ ist eine $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ -Basis von $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_K \end{eqnarray*}$ , also sicher auch eine $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -Basis von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Die Norm von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist die Determinante der $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} K \to K , ~ \ell \mapsto x\ell \end{eqnarray*}$ . Die Determinante bekommen wir heraus, indem wir eine $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -Basis wählen, die Matrix bezüglich dieser Basis notieren und davon die Determinante ausrechnen. Also tun wir das doch.

Weil $\begin{eqnarray*} (w_1,...,w_n) \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -Basis ist, gibt es für jedes $\begin{eqnarray*} 1\leq i \leq n \end{eqnarray*}$ Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \gamma_{ij} \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} xw_i = \sum_{j=1}^n \gamma_{ij} w_j \end{eqnarray*}$ .
Wir haben aber auch $\begin{eqnarray*} xw_i = \sum_{j=1}^n a_{ij}c_j w_j \end{eqnarray*}$ . Da die $\begin{eqnarray*} (w_1,...,w_n) \end{eqnarray*}$ wie gesagt eine $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -Basis bilden, muss für alle $\begin{eqnarray*} 1\leq i,j \leq n \end{eqnarray*}$ doch $\begin{eqnarray*} \gamma_{ij} = a_{ij}c_j \end{eqnarray*}$ gelten.

Ist dir klar, dass die Aussage damit schon bewiesen ist?

31.05.2012, 23:25

mathinitus

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Ich habe alles verstanden, was du geschrieben hast, nur nicht, warum damit die Aussage schon bewiesen ist.

Ich möchte mal kurz erklären, wie ich auf meine Gleichung kam:

Wie du eben schon geschrieben hast, bilden die $\begin{eqnarray*} (w_1,...,w_n) \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -Basis von K. Sei also $\begin{eqnarray*} y\in K \end{eqnarray*}$ beliebig, dann gibt es ein eindeutig bestimmtes $\begin{eqnarray*} q\in \mathbb{Q}^n \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} y=q^\top w = \sum q_i w_i \end{eqnarray*}$
Will ich nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Matrix für die $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} K \to K , ~ \ell \mapsto x\ell \end{eqnarray*}$ ist, muss ich also zeigen:
$\begin{eqnarray*} (Aq)^\top w = xq^\top w \end{eqnarray*}$ .
Auf der linken Seite setze ich q in meine Matrix ein und auf der rechten multipliziere ich einfach so mit x. In beiden Fällen sollte das gleiche passieren.

31.05.2012, 23:31

jester.

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Ok, das mit der Gleichung habe ich jetzt verstanden. Trotzdem erkläre ich erstmal meinen Ansatz weiter.

Also wie gesagt, es ist $\begin{eqnarray*} \gamma_{ij}=a_{ij}c_j \end{eqnarray*}$ . Nun noch mal an den Anfang, da haben wir die $\begin{eqnarray*} \gamma_{ij} \end{eqnarray*}$ durch die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} xw_i = \sum_{j=1}^n \gamma_{ij} w_j \end{eqnarray*}$ definiert. Das heißt die lineare Abbildung "Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ " hat bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} (w_1,...,w_n) \end{eqnarray*}$ gerade die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} (\gamma_{ij})_{i,j=1}^n \end{eqnarray*}$ .
Also ist $\begin{eqnarray*} N_{K/\mathbb{Q}}(x) = \det ((\gamma_{ij})) = ... \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Edit: Bei deinem Ansatz mit der Gleichung solltest du aber definitiv gründlicher arbeiten. Z.B. bezüglich welcher Basis stellt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die lineare Abbildung dar?

31.05.2012, 23:42

mathinitus

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Ich glaube, ich habe nun das Problem erkannt: Die Matrix, die du mit deinen $\begin{eqnarray*} \gamma_{ij}=a_{ij}c_j \end{eqnarray*}$ beschreibst, ist ja genau die Matrix, die ich oben A nannte. Das ist aber nicht die Matrix, die wir suchen, daher konnte ich auch
$\begin{eqnarray*} (Aq)^\top w = xq^\top w \end{eqnarray*}$
nicht nachweisen. Es ist aber genau die Transponierte der gesuchten Darstellungsmatrix! Das Transponieren ändert natürlich nichts an der Determinante, also gilt weiterhin $\begin{eqnarray*} N_{K/\mathbb{Q}}(x) = \det ((\gamma_{ij})) \end{eqnarray*}$ .

In Wahrheit hätte ich also
$\begin{eqnarray*} (A^\top q)^\top w = xq^\top w \end{eqnarray*}$
zeigen müssen. Das ist aber trivial, wenn man $\begin{eqnarray*} Aw=xw \end{eqnarray*}$ hat.

31.05.2012, 23:45

mathinitus

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Zitat:

Original von jester.
Edit: Bei deinem Ansatz mit der Gleichung solltest du aber definitiv gründlicher arbeiten. Z.B. bezüglich welcher Basis stellt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die lineare Abbildung dar?

Bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} (w_1,...,w_n) \end{eqnarray*}$ .

01.06.2012, 09:21

jester.

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Zitat:

Original von mathinitus
Das ist aber trivial, wenn man $\begin{eqnarray*} Aw=xw \end{eqnarray*}$ hat.

Problem: das hat man nicht. Es gibt auch überhaupt keinen Grund, warum das richtig sein sollte - schließlich ist es nur sinnvoll, Koordinatenvektoren an eine Darstellungsmatrix heranzumultiplizieren. Meinetwegen nochmal das Beispiel $\begin{eqnarray*} K:=\mathbb{Q}(\sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ mit der Basis $\begin{eqnarray*} (1,\sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ . Wir betrachten nun in obiger Notation $\begin{eqnarray*} x:=\sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ , i.e. wir interessieren uns für die Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ .
Bezüglich der gerade festgelegten Basis hat diese Abbildung die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix}0&-5 \\ 1&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Nun ist $\begin{eqnarray*} Aw=\begin{pmatrix}0&-5 \\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{-5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\sqrt{-5} \\ 1 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} \sqrt{-5} \\ -5 \end{pmatrix} = xw \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

[...] Es ist aber genau die Transponierte der gesuchten Darstellungsmatrix! Das Transponieren ändert natürlich nichts an der Determinante [...]

Genau das ist der Grund, weswegen man sich da eine detaillierte Überlegung, ob man die Transponierte nimmt oder nicht, komplett schenken sollte.

01.06.2012, 10:58

mathinitus

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Ich glaube, du hast dich vertan. Du hast die $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ nicht berechnet. Ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} c_1=5 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} c_2=1 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} a_{11}=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{12}=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{21}=-1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{22}=0 \end{eqnarray*}$ .

Also haben wir:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}0&1 \\ -5&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Damit erhalten wir:
$\begin{eqnarray*} Aw=\begin{pmatrix}0&1 \\ -5&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{-5} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \sqrt{-5} \\ -5 \end{pmatrix} = xw \end{eqnarray*}$ .

02.06.2012, 10:21

jester.

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Diese Matrix ist aber nicht die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung "Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ " bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} (1, \sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ , wenn man mit Koordinatenspalten arbeitet. Vielleicht haben wir da aneinander vorbeigeredet. Ist aber auch egal, die Aufgabe ist ja gelöst.

02.06.2012, 15:15

mathinitus

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Zitat:

Original von jester.
Diese Matrix ist aber nicht die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung "Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ " bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} (1, \sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ , wenn man mit Koordinatenspalten arbeitet. Vielleicht haben wir da aneinander vorbeigeredet. Ist aber auch egal, die Aufgabe ist ja gelöst.

Es ist genau die Matrix aus meinem ersten Beitrag. Wie ich in Norm gleich Determinante einer speziellen Matrix (bitte klicken, um zum entsprechenden Beitrag zu springen) bereits feststellte, ist dies tatsächlich nicht die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung, sondern deren Transponierte.

Aber du hast vollkommen recht, die Aufgabe ist nun gelöst.

Jedoch habe ich zu dem Thema noch eine weitere Frage: Warum die die Determinate von $\begin{eqnarray*} (a_{ij}) \end{eqnarray*}$ betragsmäßig 1?
Ich denke die Frage lässt sich lösen, indem man zeigt, dass die Inverse auch Einträge aus Z hat und das bekommt man bestimmt, wenn man nun eine Basis in die andere Richtung sucht.

02.06.2012, 18:36

jester.

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Ja, genau, $\begin{eqnarray*} (a_{ij}) \end{eqnarray*}$ ist eine Basiswechselmatrix zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ -Basen, Determinanten solcher Matrizen sind stets betragsmäßig 1, da über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ invertierbare Matrizen gerade Determinante 1 oder -1 haben (allgemeiner ist eine Matrix über einem Ring (kommutativ mit 1) ja genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante eine Einheit in dem Ring ist).

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