Kürzeste Strecke zwischen Punkt und Graphen bestimmen

31.05.2012, 12:50

blu3.Eye

Kürzeste Strecke zwischen Punkt und Graphen bestimmen

Hallo.

Aufgabe:
[attach]24720[/attach]

Zu a:

Das habe ich einfach mit dem Satz des Pythagoras erklärt.

Zu b:

Ich weiß jetzt gar nicht, wie ich den Graphen zeichnen soll.. verwirrt

Sieht die Funktion d so aus:

$\begin{eqnarray*} y =\sqrt{x^2 + (0.2(x+1)^2-3)^2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das aber zeichne, kommt etwas unbrauchbares heraus..

Zu c:

Warum mit der Normalen?
Gibt mir die Normale immer die kürzeste Strecke, oder warum?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen smile

31.05.2012, 14:51

Gualtiero

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a) Richtig.

b) Die Funktion $\begin{eqnarray*} d(x_0) \end{eqnarray*}$ gibt zu jedem Punkt der Gasleitung die Entfernung zum Ursprung aus. Dich interessiert die kürzeste, also musst Du einen Tiefpunkt suchen.

c) Die kürzeste Entfernung zwischen einem Punkt und einer Gerade ist der Lotabstand.
Und die kürzeste Entfernung vom Ursprung (oder einem anderen beliebigen Punkt) zum Graph geht zu jenem Punkt, dessen Tangente normal auf die gesuchte Strecke steht.

Wenn Du da aber einen Beweis führen musst, wird das zuwenig sein, denke ich.

31.05.2012, 15:18

blu3.Eye

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Zu b:

Verstanden smile

Ich erhalte ein Minimum bei (1.58|2.3).

Zu c:

Habe ich nicht ganz verstanden.

Wo genau muss ich die Tangente anlegen?
Kann ich nicht einfach eine Gerade erstellen, die druch den Ursprung und den eben gefundenen Punkt (Minimum) geht?

Danke Gualtiero smile

31.05.2012, 15:43

Gualtiero

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b)
Minimum bei (1.58|2.3) ?
Ich hab nur den x-Wert, und der ist bei 1,66 . . . . verwirrt

c)
Das Auffinden des Punktes mit der kürzesten Entfernung geht sicher einmal mit dem Nullsetzen der ersten Ableitung von d(xo). Das gefundene x des Tiefpunkts setzt Du in die Funktion ein, die die Gasleitung darstellt.
In diesem Punkt musst Du die Steigung der Tangente bestimmen, und die Strecke vom Berührpunkt zum Ursprung sollte dann rechtwinklig auf diese Tangente stehen.

Ob es noch andere Wege gibt, kann ich nicht sagen.

31.05.2012, 16:34

blu3.Eye

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Zu b:

Okay, mein View-Window war im Taschenrechner zu ungenau eingestellt, daher kommt das.

Zu c:

Nun muss ich also erstmal ableiten.
Das sieht ziemlich schwer aus..

$\begin{eqnarray*} f(x) = y =\sqrt{x^2 + (0.2(x+1)^2-3)^2} =(x^2 + (0.2(x+1)^2-3)^2)^\frac{1}{2} = x^2 + 0.2(x+1)^2-3)^2 \end{eqnarray*}$

Ist das bis dahin richtig?

31.05.2012, 17:32

Gualtiero

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Wohin ist denn der Exponent 1/2 verschwunden?

Ich habe einfach den Klammerausdruck unter der Wurzel quadriert und alles neue geordnet,

und bekam: $\begin{eqnarray*} d(x)=\sqrt{0,2x^4+0,16x^3+0,04x^2-2,24x+7,84} \end{eqnarray*}$

Davon die erste Ableitung, nur angedeutet: $\begin{eqnarray*} d'(x)=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{Wurzelausdruck . . .}} \cdot (innere-Ableitg.) \end{eqnarray*}$

31.05.2012, 19:17

blu3.Eye

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$\begin{eqnarray*} d'(x)=\frac{1}{2} \sqrt{0,2x^4+0,16x^3+0,04x^2-2,24x+7,84} \cdot \sqrt{0.8x^3+0.48x^2+0.08x-2.24} \end{eqnarray*}$

So?

31.05.2012, 20:27

Gualtiero

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Sorry, im ersten Term unter der Wurzel war ein Fehler, so sollte es stimmen:

$\begin{eqnarray*} d(x)=\sqrt{0,04x^4+0,16x^3+0,04x^2-2,24x+7,84} \end{eqnarray*}$

Und die erste Wurzel in den Nenner, von der zweiten bleibt nur der Ausdruck unter der Wurzel; so:

$\begin{eqnarray*} d'(x)=\frac{0,16x^3+0,48x^2 . . . usw.}{2 \cdot \sqrt{0,04x^4+0,16x^3+0,04x^2-2,24x+7,84}} \end{eqnarray*}$

31.05.2012, 22:02

blu3.Eye

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Okay, ich hab dann in die 1.Ableitung den Wert 1.66 eingesetzt und bin damit auf die Steigung = -0.242 gekommen.

Also müsste die Gleichung lauten:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{0.242} x + 0 \end{eqnarray*}$

01.06.2012, 07:47

Gualtiero

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Vielleicht war das

Zitat:

Original von Gualtiero
. . .

c)
Das Auffinden des Punktes mit der kürzesten Entfernung geht sicher einmal mit dem Nullsetzen der ersten Ableitung von d(xo). Das gefundene x des Tiefpunkts setzt Du in die Funktion ein, die die Gasleitung darstellt.
In diesem Punkt musst Du die Steigung der Tangente bestimmen, und die Strecke vom Berührpunkt zum Ursprung sollte dann rechtwinklig auf diese Tangente stehen.

unverständlich, daher noch einmal:

Das x des Minimums in der Funktion d(x) (ich habe 1.66 . . . , kontrolliere aber noch einmal) setzt Du in die Funktion g(x) ein und bekomst den Anschlusspunkt der Leitung.

Ermittle die Steigung der Tangente im Anschlusspunkt - dass Du hier g'(x) bilden musst usw. sollte wohl klar sein.

Mit dieser Steigung kannst Du die Steigung der Anschlussleitung berechnen.

Tipp zur Kontrolle: Da der Anschlusspunkt im 4. Quadrant liegt, kann die Steigung der AL nicht positiv sein.

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