Ordnungsrelationen (kleiner-gleich-Notation)

31.05.2012, 18:04	PeterH	Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnungsrelationen (kleiner-gleich-Notation) Meine Frage: Hallo alle miteinander, Ich habe eine Frage, die sich vermutlich sehr schnell lösen lässt. Vor kurzem haben wir eine Relation O auf einer Menge M als Ordnungsrelation definiert, wenn sie reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. In diesem Zusammenhang schreibt man für $\begin{eqnarray} x, y\in M \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} (x, y)\in O \end{eqnarray}$ die Abkürzung $\begin{eqnarray} x\leq y \end{eqnarray}$ und sagt "x kleiner oder gleich y". Mit dem "kleiner/gleich" tue ich mich jedoch schwer. Ich habe mal ein Beispiel gesucht. Nehmen wir $\begin{eqnarray} M:=\left\{ 1, 2, 3, 4\right\} \end{eqnarray}$ , dann ist beispielsweise $\begin{eqnarray} \left\{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (1,3), (1,4), (2,4), (3,4) \right\} \end{eqnarray}$ eine Ordnungsrelation, da O reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. Ist dann nicht aber auch $\begin{eqnarray} \left\{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (2,1), (3,1), (4,1), (4,2), (4,3) \right\} \end{eqnarray}$ eine Ordnungsrelation (, da in meinen Augen die Kriterien ebenfalls erfüllt sind)? Wenn ja hieße das doch nach der oben festgelegten Abkürzung beispielsweise $\begin{eqnarray} 3\leq 1 \end{eqnarray}$ , was dem "Kleiner-Gleich"-Begriff gegenüber stünde, den ich bisher hatte. Handelt es sich einfach um eine abstrakte Definition, die nicht unmittelbar mit dem Intuitiven zusammenhängt, oder habe ich einen Fehler gemacht (vielleicht eine zusätzliche Bedingung übersehen)? Mfg PeterH Meine Ideen:
31.05.2012, 19:18	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnungsrelationen (kleiner-gleich-Notation) Hallo PeterH, So eine Ordnungsrelation ist ja a priori nicht gottgegeben, das heißt, du hast weit mehr als nur eine Möglichkeit, eine Ordnung auf einer Menge zu definieren. Also hast du jetzt auf deiner Menge M tatsächlich zwei verschiedene Ordnungen. Bezüglich der ersten Ordnung ist 1 kleiner gleich 3, bezüglich der anderen Ordnung ist 3 kleiner gleich 1. Also ja, eine Ordnungsrelation muss nicht immer das sein, was man als erstes so vermuten würde, die Definition ist abstrakt. Wenn nichts weiter gesagt ist, wird aber wohl die "naheliegendste" Ordnung gemeint sein. lg kai
31.05.2012, 19:23	PeterH	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke für die nette Antwort Louis1991. Damit hast du viel Licht in die Dunkelheit gebracht. Mfg PeterH

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