Integral von f_n ist beschränkt => f_n fast überall beschränkt?

31.05.2012, 21:17	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral von f_n ist beschränkt => f_n fast überall beschränkt? Hallo, bin mir bei einer Sache nicht sicher. Sei [a,b] ein kompaktes Intervall. Sei $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ eine nichtnegative Funktionenfolge, die auf I Lebesgue-integrierbar ist mit $\begin{eqnarray} \int_a^b f_n dx \leq K \end{eqnarray}$ für alle n. Meine Frage ist dann: Gibt es dann eine Konstante L, sodass $\begin{eqnarray} f_n \leq L \end{eqnarray}$ fast überall für alle n gilt? Dass es auf Nullmengen nicht gelten muss, das ist klar. Da kann die Funktionenfolge im Endeffekt machen, was sie möchte. Aber wie sieht es außerhalb dieser Nullmenge aus? Stehe da etwas auf dem Schlauch. Gruß und danke im Voraus
31.05.2012, 22:25	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral von f_n ist beschränkt => f_n fast überall beschränkt? $\begin{eqnarray} \text{Wähle }[a,b]=[0,1]\text{ und }f_n(x)=\begin{cases}\frac1{\sqrt x}&x\neq0\\0&x=0.\end{cases} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Dann ist }\textstyle\int_a^bf_n\mathrm dx=2\qquad\forall n\in\mathbb N. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_n\leq K\text{ f.ü. für ein }K\in\mathbb R\text{ gilt höchstens, wenn }\operatorname{ess\,sup}f_n\leq K\text{ gefordert ist, d.h. }f_n\in L^\infty\text{ statt }f_n\in L^1. \end{eqnarray}$ Aber wozu brauchst du überhaupt eine Funktionenfolge?
31.05.2012, 22:30	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Das mit der Funktionenfolge ist mir auch im Nachhinein aufgefallen. Ist aus einer Aufgabe entnommen, in der man damit was machen soll. Dankeschön und schönen Abend noch. (:

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