Häufungspunkt einer Cosinus Folge

31.05.2012, 22:15

Häufungspunkt einer Cosinus Folge

Meine Frage:
Hi all,

ich habe folgendes Verstaendnisproblem: Gegeben sei die Folge

$\begin{eqnarray*} a_{n} = cos\left(\frac{n}{3} \pi \right) \end{eqnarray*}$

Gefragt sind die Haeufungspunkte der Folge.

Die Loesung waere:

$\begin{eqnarray*} cos\left(\frac{1}{3}\pi \right); cos\left(\frac{2}{3}\pi \right); cos\left(\pi \right); cos\left(2\pi \right) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Definition von Haeufungspunkt ist:

[attach]24734[/attach]

Wenn ich a beliebig zwischen -1 und 1 wie zum Beispiel a = cos(0,5) waehlen wuerde, dann habe ich ja auch in jeder Umbegung von a unendlich viele Folgenglieder oder nicht?

[attach]24735[/attach]

Daraus folgt, ich habe unendlich viele Haeufungspunkte? Oder habe ich hier eine Denkfehler?

Bedanke mich schon einmal im Voraus fuer euer Antwort.

31.05.2012, 23:10

Che Netzer

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Du hast hier nur eine Folge, keine Funktion. Die Folgenglieder liegen zwar alle auf dem Graphen von $\begin{eqnarray*} \cos\left(\tfrac{x\pi}3\right) \end{eqnarray*}$ , aber nicht alle Punkte darauf werden angenommen.
Das Argument des Cosinus bei deiner Folge muss ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \tfrac\pi3 \end{eqnarray*}$ sein.

01.06.2012, 14:45

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Hi Che Netzer,

Zitat:

Du hast hier nur eine Folge, keine Funktion.

Ja, das stimmt! Hier war es meinen Gedankenfehler.

Zitat:

[...] aber nicht alle Punkte darauf werden angenommen.
Das Argument des Cosinus bei deiner Folge muss ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \tfrac\pi3 \end{eqnarray*}$ sein.

Damit bin ich auch einverstanden. Nichtdestotrotz hat die Folge unendliche viele Haeufungspunkte oder nicht?

Die Folge sieht ja so aus:

[attach]24742[/attach]

Und fuer mich sind es zum Beispiel $\begin{eqnarray*} cos\left(\frac{a}{3}\pi \right), a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ alle Haeufungspunkten.

01.06.2012, 15:15

Che Netzer

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Zitat:

Original von Fu
Und fuer mich sind es zum Beispiel $\begin{eqnarray*} cos\left(\frac{a}{3}\pi \right), a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ alle Haeufungspunkten.

Ja, das stimmt schon, aber für viele a sind diese Werte gleich.

12.06.2012, 12:24

ad$di

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nach dem bild zu beurteilen sind es nur 4 verschiedene werte - ist das die richtige lösung?

12.06.2012, 22:45

Che Netzer

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Ja. Spricht denn etwas dagegen?

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