Ableitung, Vektoren, Matrizen

01.06.2012, 10:55	LeoRS	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung, Vektoren, Matrizen Meine Frage: Hallo, ich bin auf Ableitungen der Vektorfelder und Matrizen gestoßen und brauche ganz viel Verständnis... 1.Wozu braucht man allgemein solche Ableitungen? 2.Was bringt mir die Ableitung? Wo wird sie außer Physik angewendet? Praktische Beispiele? 3.Kann man die zyklische Permutation für alle Ableitungen der Matrizen verwenden? 4.In meiner Quelle wird eine Matrix durch die zyklische Permutation verändert und dann werden Eigenwerte und Eigenvektoren ausgerechnet, um Ebenen (lineare Unterräume) herauszufinden. Ist das ein Einzelfall oder gibt es mehrere Rechnungen, wo genau solche Vorgehensweise angewendet wird? Manche Fragen sind vielleicht blöd, ärgert euch aber bitte nicht Meine Ideen: In der Physik wird anhand der Ableitung irgendwie die doppelte Winkelgeschwindigkeit berechnet (habe ich bei Wikipedia gelesen). Kennt ihr irgendwelche weiteren Beispiele?
01.06.2012, 23:07	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung, Vektoren, Matrizen Kannst du mal ein Beispiel nennen, wo und was du da gelesen hast? Ich bin zwar auch Physiker, aber mir ist nicht ganz klar, was du da machst. Ich nehme jetzt einfach mal an, für dich ist ein Vektorfeld eine Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ , also eine vektorwertige Funktion mit drei Komponenten. Dann sprichst du von einer Ableitung von Vektorfeldern. Ich vermute, du meinst damit die Jacobimatrix der Funktion, also die Matrix: $\begin{eqnarray} Df:=\begin{pmatrix}{} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_1}{\partial x_3} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_3} \\ \frac{\partial f_3}{\partial x_1} & \frac{\partial f_3}{\partial x_2} & \frac{\partial f_3}{\partial x_3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun: Das ist - wie gesagt - eigentlich die Jacobimatrix der Funktion und sie hat alle wesentlichen Eigenschaften des Änderungsverhaltens der Funktion. Du brauchst sie für verschiedenens - bspw. bei der Integration über Flächen oder Volumina zur Bestimmung der Funktionaldeterminante, bzw. generell beim Koordinatenwechsel (das sind ja auch solche Funktionen wie das f). Zudem liefert sie (wie jede Ableitung) die Möglichkeit, die Funktion in einer Umgebung linear zu approximieren. Zyklische Permutation? Keine Ahnung, was du da in diesem Zusammenhang mit möchtest... Ableitung der Matrix? Was meinst du damit? Gruß MI
02.06.2012, 10:45	LeoRS	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung, Vektoren, Matrizen @ MI: ich habe in einer wissenschaftlichen Arbeit über Projektionsformalismus gelesen, dass man eine Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hat, dann eine Gruppe der Rotationen bestimmt, die von der zyklischen Permutation der Basisvektoren erzeugt wird, und dann weiter wie in Frage 4. Rotation ist doch eine Art Ableitung, oder? Ich sag, ich habe keine Ahnung. Aber ich weiß, wie man diese zyklische Permutation macht, nur weiß ich nicht, wozu sie gut ist.
03.06.2012, 00:29	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung, Vektoren, Matrizen Ah... so langsam dämmert's. Aber wenn du mir nicht sagst, woran du genau arbeitest, kann ich leider immer noch nur rumraten. Nein, Rotation ist KEINE Ableitung. Rotation ist Rotation. Was du meinst ist $\begin{eqnarray} \operatorname{rot} \end{eqnarray}$ , wie in $\begin{eqnarray} \operatorname{rot}f=\nabla\times f \end{eqnarray}$ Das bezeichnet im deutschen die Rotation eines Vektorfeldes, was es nicht ganz trifft: Die Rotation eines Vektorfeldes sagt dir, wie verwirbelt das Vektorfeld ist (gibt also so etwas wie die "Selbstrotation" an). Die Rotation (englisch "curl", wo man's dann auch nicht verwechseln kann) eines Vektorfeldes wird über die Ableitung definiert, ist auch selbst so in etwa etwas wie eine Ableitung, weil es einer Form von Leibnitzregel genügt, aber eigentlich, wie gesagt, gibt es die Wirbelfreiheit eines Feldes an. Deine Rotation ist jetzt aber etwas völlig anders nämlich das, was man herkömmlich unter Rotation versteht. Eine Permutation ist eine Rotation, also eine anschauliche Drehung um eine Achse, und eine Menge von Rotationen kann eine mathematische Gruppe bilden, die eine Untergruppe der Rotationsgruppe ist. Die Rotationsgruppe in n Dimensionen zum Beispiel, die sogenannte $\begin{eqnarray} SO(n)=SO(n,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ , umfasst alle reellen nxn-Matrizen A mit $\begin{eqnarray} A^{tr}A=id \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \operatorname{det}(A)=1 \end{eqnarray}$ . Deine Permutationsmatrizen (vertauschen von Basisvektoren) erfüllen das offenbar und sie bilden daher eine Untermenge der $\begin{eqnarray} SO(n) \end{eqnarray}$ , die sogar eine Gruppe bildet und damit eine Untergruppe. Das hat nichts, aber auch gar nichts mit $\begin{eqnarray} \operatorname{rot} \end{eqnarray}$ zu tun. Gruß MI

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