extremstellen bestimmen

28.01.2007, 11:16

rockybalboa123

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extremstellen bestimmen

hi,

habe die funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{3}{8}x^4 - 2x^3+3x^2 \end{eqnarray*}$ udn soll davon die extremstellen ( egal ob Hoch - oder Tiefpkt. ) bestimmen.

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 1,5x^3 - 6x^2+6x=0|: 1,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)= x^3 - 4x^2+4x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)= x(x^2-4x+4)=0 \end{eqnarray*}$

somit wäre die erste extremstelle ja - ohne ersteinmal auf das kriterium der 2. ableitung zu achten - ja null ( faktor x vor klammer ). doch wie krieg ich die 2. stelle? durch einsetzten in der klammer um zu gucken, wann der ausdruck in der klammer =0 ist?

28.01.2007, 11:23

mazeli

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Also so wie ich das verstehe hat die Funktion 3 Extremstellen, 2 TPs und einen HP, wobei der zweite TP identisch mit dem HP ist. (geht das überhaupt???)

Hätte den Ausdruck in der Klammer mal mit der Mitternachtsformel ausgerechnet, dann bekommst ja 2 weitere x - Werte geliefert.

Dann mal schauen was die 2. Ableitung hergibt.

Bin mir jetzt grad aber auch nicht sicher.

28.01.2007, 11:28

rockybalboa123

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Zitat:

Original von mazeli
Also so wie ich das verstehe hat die Funktion 3 Extremstellen, 2 TPs und einen HP, wobei der zweite TP identisch mit dem HP ist. (geht das überhaupt???)

Hätte den Ausdruck in der Klammer mal mit der Mitternachtsformel ausgerechnet, dann bekommst ja 2 weitere x - Werte geliefert.

Dann mal schauen was die 2. Ableitung hergibt.

Bin mir jetzt grad aber auch nicht sicher.

hab ich schon versucht mit der mitternachtsformel, kommt aber mist raus, etwa: $\begin{eqnarray*} -4\frac{\sqrt{0} }{2} \end{eqnarray*}$

28.01.2007, 11:32

mazeli

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hmm ich bekomme dort für x2,3 = 2 raus.

Du wohl auch, hast bloß +- mit * vertauscht.

28.01.2007, 11:39

ich bin smile

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Die Ableitung hat als eine Nullstelle trivialerweise die Null und die restlichen zwei Nullstellen sind eine doppelte, also gleiche, Nullstelle, undzwar die Zwei.

Das hat glaube ich die Verwirrung bei mazeli ausgelöst.

28.01.2007, 11:42

rockybalboa123

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Zitat:

Original von mazeli
hmm ich bekomme dort für x2,3 = 2 raus.

Du wohl auch, hast bloß +- mit * vertauscht.

nach welcher rechnung?

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28.01.2007, 11:43

mazeli

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mit der pq oder a,b Mitternachtsformel komme ich beides mal auf 2

28.01.2007, 11:49

rockybalboa123

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Zitat:

Original von ich bin smile
Die Ableitung hat als eine Nullstelle trivialerweise die Null und die restlichen zwei Nullstellen sind eine doppelte, also gleiche, Nullstelle, undzwar die Zwei.

Das hat glaube ich die Verwirrung bei mazeli ausgelöst.

mag sein, aber auch mit der pq-formel krieg ich da nix raus...

28.01.2007, 11:52

kiste

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$\begin{eqnarray*} \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a} \end{eqnarray*}$
Das wichtige ist hier das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ den dort hast du einen $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ gesetzt

28.01.2007, 11:52

rockybalboa123

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Zitat:

Original von mazeli
mit der pq oder a,b Mitternachtsformel komme ich beides mal auf 2

was steht denn bei der abc-formel bei dir unterm wurzelzeichen? bei mit steht da : $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{16-16}{2} } \end{eqnarray*}$

28.01.2007, 11:54

ich bin smile

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$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4*1*4}}{2*1}=\frac{4\pm\sqrt{16-16}}{2}=\frac{4\pm0}{2}=\frac{4}{2}=2 \end{eqnarray*}$

28.01.2007, 11:54

mazeli

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so ist auch korrekt nur das du 4+- vor der Wurzel vergessen hast

28.01.2007, 12:22

rockybalboa123

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Zitat:

Original von ich bin smile
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4*1*4}}{2*1}=\frac{4\pm\sqrt{16-16}}{2}=\frac{4\pm0}{2}=\frac{4}{2}=2 \end{eqnarray*}$

frage: wieso wird aus dem -(-4) vor der wurzel plötzlich ein +4?

28.01.2007, 12:23

mazeli

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- * - = +

28.01.2007, 13:03

rockybalboa123

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so, nun habe ich die extremstellen:

$\begin{eqnarray*} x1= 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x2,3 = 2 \end{eqnarray*}$

jetzt hab ich die mal in die 2. Ableitung eingesetzt um zu sehen, ob Hpch-oder Tiefpunkt vorliegt.

$\begin{eqnarray*} f''(0)= 4,5*0^2-12*0+6 = 10,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(2)=....=0 \end{eqnarray*}$ ( Wendepunkt)

Woher weiss ich nun, was Hoch- und was Tiefpunkt ist?

28.01.2007, 14:03

tigerbine

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RE: extremstellen bestimmen

Zitat:

Original von rockybalboa123

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{3}{8}x^4 - 2x^3+3x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{3}{2}x^3 - 6x^2+6x=\frac{3}{2}x(x^2-4x+4)=\frac{3}{2}x(x-2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{9}{2}x^2 - 12x+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=9x-12 \end{eqnarray*}$

Extremstellen

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \Rightarrow x_1 = 0,~x_2=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x_1)=f''(0)=+6\Rightarrow \text{ Minimum } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x_2)=f''(2) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x_2)=f'''(2)=+6 \Rightarrow \text{ Terassenpunkt } \end{eqnarray*}$

28.01.2007, 14:09

rockybalboa123

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RE: extremstellen bestimmen

Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Original von rockybalboa123

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{3}{8}x^4 - 2x^3+3x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{3}{2}x^3 - 6x^2+6x=\frac{3}{2}x(x^2-4x+4)=\frac{3}{2}x(x-2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{9}{2}x^2 - 12x+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=9x-12 \end{eqnarray*}$

Extremstellen

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \Rightarrow x_1 = 0,~x_2=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x_1)=f''(0)=+6\Rightarrow \text{ Minimum } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x_2)=f''(2) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x_2)=f'''(2)=+6 \Rightarrow \text{ Terassenpunkt } \end{eqnarray*}$

wieso ziehst du denn die 3. ableitung zu rate?

28.01.2007, 14:14

tigerbine

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RE: extremstellen bestimmen

Zitat:

rockyb

Extremum:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ setzen, wobei $\begin{eqnarray*} f''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Wendepunkt:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \text{ und } f''(x)=0 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} f'''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Deshalb

Augenzwinkern

Wobei f'(x)=0 für einen Wendepunkt nicht nötog ist. Es gibt einen speziellen Wendepunkt an, den Terassenpunkt.

28.01.2007, 14:22

rockybalboa123

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RE: extremstellen bestimmen

Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

rockyb

Extremum:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ setzen, wobei $\begin{eqnarray*} f''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Wendepunkt:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \text{ und } f''(x)=0 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} f'''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Deshalb

Augenzwinkern

Wobei f'(x)=0 für einen Wendepunkt nicht nötog ist. Es gibt einen speziellen Wendepunkt an, den Terassenpunkt.

d.h., wir haben 2 extremstellen , 0 und 2, sowie einen sattelpkt und keinen wendepkt.?

28.01.2007, 14:30

rockybalboa123

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und wieso liegt nun ein sattelpkt. vor? beim extremum darf die 2. ableitung doch nicht gleich null sein, beim wendepkt. hingegen schon?

28.01.2007, 14:38

tigerbine

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Sag mal liest du eigentlich was ich schreibe? Wir haben ein Minimum und einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente aka Terassenpunkt.

Wegen f''(2) = 0 liegt dort keine Extremstelle vor.

an einer Extremstelle gilt:

$\begin{eqnarray*} f'(x_E) = 0 \text{ und } f''(x_E) \neq 0 \end{eqnarray*}$

an einer Wendestelle gilt:

$\begin{eqnarray*} f''(x_W) = 0 \text{ und } f'''(x_W) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Gilt ann zusätzlich:

$\begin{eqnarray*} f'(x_W)=0 \end{eqnarray*}$

handelt es sich um einen Terassenpunkt

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