Integrationsreihenfolge vertauschen...

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01.06.2012, 11:20	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationsreihenfolge vertauschen... Meine Frage: Hallo, folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten: Gegeben ist das Doppelintegral $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! \int_{e^{2x} }^{(9-x^2)} \! \,dy dx \end{eqnarray}$ . Man vertausche die Integrationsreihenfolge und berechne dann den Wert für das Integral. Meine Ideen: So ich habe einfach nur die Grenzen und dy dx vertauscht und dann das Integral berechnet, bekomme allerdings keinen konkreten Wert heraus. Dann habe ich einen Blick in die Lösung geworfen und da steht dann folgendes: $\begin{eqnarray} \int_{\frac{3\pi }{4} }^{\frac{5\pi }{4} } \! \int_{e^{2x}}^{9-x^2} \! \, dy \, dx =\int_1^{e^2} \! \int_0^{ln(y)/2} \! \, dx \, dy +\int_{e^2}^8 \!\int_0^1 \! \, dx \, dy +\int_8^9 \! \int_0^{\sqrt{9-y} } \! \, dx \, dy =5,45 \end{eqnarray}$ . Nun verstehe ich überhaupt nicht, wie diese ganzen Grenzen zustande kommen. Ich hoffe, es kann mir jemand weiterhelfen. Danke schonmal
01.06.2012, 13:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo kommt den $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ auf einmal her? Dort müssen die Grenzen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ sein, dann stimmt es.
01.06.2012, 13:47	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe die Lösung 1:1 abgeschrieben. Ok nehmen wir mal an, dass das "pi" in der Lösung eigentlich 0 und 1 sein sollte, wie kommt man dann auf die weiteren Grenzen, das leuchtet mir auch nicht so richtig ein ... hast du da ne Ahnung ?
01.06.2012, 14:17	Karamuto	Auf diesen Beitrag antworten »
bei der berechnung vom integral in die 1. richtung komme ich zu: 10- 1/3 -e^2/2 wenn ich die "musterlösung" da unten durchrechne komme ich zu einem völlig anderen ergebnis. das 3. Integral hat beispielsweise einen Vorzeichenfehler, und die 1/2 e^2 bekomme ich da unten gar nicht zusammen. also dieser lösung würde ich nicht vertrauen :O
01.06.2012, 14:32	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut, dass die Lösung von unserem Professor ist xD... Hm, ich verstehe allerdings grundsätzlich nicht, wie man die Integrationsreihenfolge ändert. Hast du zufällig ein gutes Beispiel ?
01.06.2012, 14:41	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mal versuch den Bereich zu zeichnen, ist das so richtig ? Irgendwie nicht oder ? Edit: Weil sie nicht stetig ist? Wie zeichne ich so einen Bereich ?
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01.06.2012, 15:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis auf die Geschichte mit $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ (vielleicht ein copy-and-paste-Fehler in der Vorlage) stimmt die Musterlösung. Das zeigt auch deine Zeichnung. Der $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Bereich reicht von $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 9 \end{eqnarray}$ , wird aber nach rechts durch unterschiedliche Kurven begrenzt: im Intervall $\begin{eqnarray} [1,\operatorname{e}^2] \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{2} \ln y \end{eqnarray}$ im Intervall $\begin{eqnarray} [\operatorname{e}^2,8] \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} x = 1 \end{eqnarray}$ im Intervall $\begin{eqnarray} [8,9] \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} x = \sqrt{9-y} \end{eqnarray}$ Entsprechend werden die Integrale in Summanden zerlegt.
01.06.2012, 15:20	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommt man darauf, dass der y Bereich im Intervall [1,e²] durch x = 0,5ln y begrenz wird ?
01.06.2012, 15:23	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommt man darauf, dass der y Bereich im Intervall [1,e²] durch x = 0,5ln y begrenz wird ? Oder vielmehr habe ich Probleme mir die Intervalle vorzustellen. Kann man sich es so vorstellen, dass das Intervall [8,9] durch x = sqrt(9-y) begrenzt wird? Also wie hat man es sich vorzustellen?
01.06.2012, 15:24	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
ok habs doch verstanden ! Danke, super Hilfe !!

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