Charakteristisches Polynom bestimmen

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01.06.2012, 12:33	manutd4life	Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristisches Polynom bestimmen Liebe Kollegen! Ich habe ein großes Problem ein charakteristisches Polynom einer gegebenen Matrix A zu berechnen. A = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich habe es probiert, doch löst sich bei mir weder $\begin{eqnarray} a_0 , a_1 \end{eqnarray}$ noch $\begin{eqnarray} a_2 \end{eqnarray}$ auf. Bitte um Hilfe!
01.06.2012, 12:35	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie hast du denn angesetzt bzw. was willst du weiter machen? Das Polynom zu bestimmen sollte bei einer 3x3 Matrix eigentlich keine Probleme machen...
01.06.2012, 12:35	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schwieriges charakteristisches Polynom bestimmen! Was genau meinst du denn mit "auflösen"? Die Koeffizienten sollen am Ende auch im charakteristischen Polynom auftauchen. (das wird übrigens erstaunlich einfach aussehen, was auch Zweck der Aufgabe ist) Bilde einfach wie immer die Determinante...
01.06.2012, 13:04	manutd4life	Auf diesen Beitrag antworten »
schwieriges charakteristisches Polynom bestimmen! Also ich habs mal so angeschrieben: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} \lambda-0 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda-0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & \lambda+a_2 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} \lambda-0 & 1 \\ 0 & \lambda-0 \\ -a_0 & -a_1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ und dann die Determinante berechnet. $\begin{eqnarray} (\lambda -0)(\lambda-0)(\lambda+a_2)+(11(-a_0))-(-a_1)1(\lambda -0)) \end{eqnarray}$ Als Ergebnis erhalte ich dann: $\begin{eqnarray} \lambda^3+\lambda^2 a_2+\lambda a_1 - a_0 \end{eqnarray}$
01.06.2012, 13:11	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Die aufgestelle Matrix $\begin{eqnarray} \lambda\cdot E_3-A \end{eqnarray}$ ist falsch. Du hast die Vorzeichen in den Einträgen die nicht auf der Diagonalen stehen nicht beachtet.
01.06.2012, 13:27	manutd4life	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe dann müsste es wie folgt aussehen: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} \lambda-0 & -1 & 0 \\ 0 & \lambda-0 & -1 \\ a_0 & a_1 & \lambda+a_2 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} \lambda-0 & -1 \\ 0 & \lambda-0 \\ a_0 & a_1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Dann berechne ich die Determinante: $\begin{eqnarray} (\lambda -0)(\lambda-0)(\lambda+a_2)+(-1-1a_0)-(a_1)(-1)(\lambda -0)) \end{eqnarray}$ Und mein Endergebnis sieht dann so aus: $\begin{eqnarray} \lambda^3+\lambda^2 a_2+\lambda a_1 + a_0 \end{eqnarray}$
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01.06.2012, 13:34	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht soweit in Ordnung aus, was willst du denn jetzt damit weiter machen? Was meinst du mit dem "auflösen nach $\begin{eqnarray} a_0,a_1,a_2 \end{eqnarray}$ ".
01.06.2012, 13:45	manutd4life	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: Super danke! Also, ich hab mir gedacht, dass sich die a's auflösen müssen, aber da hatte ich einen Denkfehler. Wenn ich mir das Ergebnis jetzt so ansehen könnte ich z.B.: ja auch natürliche Zahlen für a_0, a_1 und a_2 einsetzen. Also ich soll jetzt folgendes machen: b) Zeigen Sie: Ist $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von A, dann ist $\begin{eqnarray} (1,\lambda ,\lambda ^2)^T \end{eqnarray}$ ein zugehöriger Eigenvektor.
01.06.2012, 13:51	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bedeutet es denn, wenn ein Vektor ein Eigenvektor zu einem Eigenwert einer Matrix ist? Setze da stur über die Definition des Eigenvektors/Eigenwerts an und rechne mal ein bischen rum, damit solltest du zur Lösung kommen.
01.06.2012, 17:16	manutd4life	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab das mal so probiert $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ a_0 & a_1 & \lambda+a_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \\ \lambda^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann kommt als Ergebnis folgendes raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \lambda^3+\lambda^2 a_2+\lambda a_1+a_0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Kann das stimmen?
01.06.2012, 17:26	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das stimmt nicht. Du hast aber auch die falsche Matrix verwendet. Der Eigenvektor gehört nicht zur Matrix $\begin{eqnarray} \lambda\cdot E_3 -A \end{eqnarray}$ sondern zur Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Der Ansatz ist aber soweit in Ordnung.
01.06.2012, 17:48	manutd4life	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok dann nehm ich jetzt mal die Matrix A: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \\ \lambda^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nach dem Umformen sieht die Matrix also so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -a_0 & -a_1 & -a_2\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda^2\\1 \\ \lambda \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann kommt als Ergebnis folgendes raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -a_0 -\lambda a_1 -\lambda^2 a_2 \\ \lambda \\ \lambda^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kann man das so machen bzw. stimmt das?
01.06.2012, 18:01	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso formst du die Matrix um? Alles was du machen sollst, ist die Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit dem gegebenen Vektor zu multiplizieren.
01.06.2012, 18:10	manutd4life	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok gg dann so: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \\ \lambda^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und das Ergebnis ist: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda \\ \lambda^2 \\-a_0 -\lambda a_1 -\lambda^2 a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Wie soll ich das jetzt interpretieren ?
01.06.2012, 18:12	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Verwende die Definition von Eigenvektoren. Dieser Vektor soll ein Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ sein, was heißt das? Wie lässt sich das umsetzen? (ganz konkret: welche Gleichheit muss gelten?)
01.06.2012, 18:48	manutd4life	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muss also gelten: $\begin{eqnarray} Ax=\lambda x \end{eqnarray}$ Also muss ich Ax ausrechnen: $\begin{eqnarray} Ax =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ -a_0x_1 -a_1x_2 -a_2x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ muss ich jetzt noch $\begin{eqnarray} \lambda x \end{eqnarray}$ ausrechnen??? oder kann ich sagen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ -a_0x_1 -a_1x_2 -a_2x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda \\ \lambda^2 \\-a_0 -\lambda a_1 -\lambda^2 a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mfg ????
01.06.2012, 18:53	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest auch für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ den schon gegebenen Eigenvektor einsetzen, das macht einiges einfacher... Nachtrag: alternativ kannst du es auch mit deinem bisherigen Ansatz machen, dann musst noch $\begin{eqnarray} \lambda x \end{eqnarray}$ ausrechnen und die jeweiligen Ergebnisse vergleichen und Rückschlüsse über $\begin{eqnarray} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray}$ ziehen.
02.06.2012, 15:14	manutd4life	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: Ich kann mir das irgendwie nicht so ganz vorstellen wie das funktioniert'!!! hmm....
02.06.2012, 15:30	manutd4life	Auf diesen Beitrag antworten »
wie meinst du das mit für x den schon gegebenen Eigenvektor einsetzen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda x_2 \\ \lambda^2 x_3 \\ -a_0x_1 -\lambda a_1x_2 -\lambda^2 a_2x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kann das stimmen? und wie muss ich dann wieter machen ?
02.06.2012, 16:57	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir scheint, dir ist die Aufgabenstellung überhaupt nicht klar. Lies dir die noch einmal genau durch, was sollst du zeigen, was hast du gegeben?

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