Picard-Iterierte

01.06.2012, 10:50	Newbie...	Auf diesen Beitrag antworten »
Picard-Iterierte Hallo Leute, ich habe folgende Aufgabe bekommen und nun würde ich gern wissen ob ich die Picard-Iteration richtig verstanden habe: Berechnen Sie die Picard-Iterierten $\begin{eqnarray} \varphi_1,\varphi_2,\varphi_3 \end{eqnarray}$ für das AWP $\begin{eqnarray} <br /> y'=y^2+e^x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y_{(0)}=0 \end{eqnarray}$ In der VL hatten wir die Picard-Iteration nur kurz angerissen, notiert hab ich mir folgendes: $\begin{eqnarray} \varphi_{0(x)}=y_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi_{n+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^x \! f(t,\varphi_{n}(t)) \, dt \end{eqnarray}$ Hier wäre ja dann $\begin{eqnarray} \varphi_0(x)=0 \end{eqnarray}$ . Dann war ich mir nicht ganz sicher, aber ich denke mal es ist dann: $\begin{eqnarray} f(t,\varphi_{n}(t))=y^2+e^x \end{eqnarray}$ oder? Also im ersten Glied wäre es dann ja: $\begin{eqnarray} \varphi_{1}(x)=y_0+\int_0^x \! f(t,\varphi_{0}(t)) \, dt=0+\int_0^x \! e^t \, dt=e^x-1 \end{eqnarray}$ Dann wäre ja: $\begin{eqnarray} \varphi_{2}(x)=y_0+\int_0^x \! {\varphi_{1}(t)} \, dt=0+\int_0^x \! (e^t-1) \, dt=e^x-x-1 \end{eqnarray}$ und: $\begin{eqnarray} \varphi_{3}(x)=y_0+\int_0^x \! {\varphi_{2}(t)} \, dt=0+\int_0^x \! (e^t-t-1) \, dt=e^x-\frac{x^2}{2}-x-1 \end{eqnarray}$ Kommt das soweit hin? MfG

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