Metrische Räume

01.06.2012, 13:43

Savior

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Metrische Räume

Meine Frage:

Gegeben $\begin{eqnarray*} I_1:=[a_1,b_1]\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I_2:=[a_2,b_2]\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,b_1,b_2 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Die jeweilige Einschränkung der Metrik $\begin{eqnarray*} d(x,y):=|x-y| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} I_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ definiert auf diesen eine Metrik.
Wann sind die beiden metrischen Räume $\begin{eqnarray*} (I_1,d) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (I_2,d) \end{eqnarray*}$ isometrisch?

Meine Ideen:

Wir haben das Thema erst heute zum ersten mal behandelt und ich blicke da noch nicht wirklich so richtig durch unglücklich

unglücklich

Also wir haben 2 metrische Räume gegeben, das heißt für beide gelten die 3 Bedingungen für metrische Räume
Ich soll nun Zeigen, wann folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} d_{I_{1}}(x,y)=d_{I_{2}}(f(x),f(y)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,y \in I_1 \end{eqnarray*}$
Mein Problem ist, was ist genau mein f?
Also es gilt ja
$\begin{eqnarray*} f:[a_1,b_1]->[a_2,b_2] \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} x->??? \end{eqnarray*}$
Das ist mein Problem, ich weiß nicht was das f genau ist unglücklich

unglücklich

Und sind bei mir $\begin{eqnarray*} d_{I_{1}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_{I_{2}} \end{eqnarray*}$ gleich?
Sprich es würde dann gelten
$\begin{eqnarray*} |x-y| = |f(x)-f(y)| \end{eqnarray*}$ ?

Bin erstmal für 2 Stunden in der Uni, komme dann wieder online

Hoffe jemand kann mir helfen smile

smile

02.06.2012, 16:55

Che Netzer

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Betrachte $\begin{eqnarray*} \lvert b_1-a_1\rvert=\lvert f(b_1)-f(a_1)\rvert \end{eqnarray*}$ . Dann müssen $\begin{eqnarray*} f(b_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(a_1) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ liegen.

03.06.2012, 12:42

Savior

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Danke für die Antwort smile

smile

Ok das dies gelten soll leuchtet mir ein, nur was immernoch mein Problem ist, ich habe kein f definiert, wie genau kann ich dann sowas ohne ein definiertes f zeigen? verwirrt

verwirrt

Bei allen Beispielen die wir hatten, oder die ich online gefunden habe, ist das f immer irgendwie definiert gewesen, was die Sache dann oftmals relativ einfach macht unglücklich

unglücklich

03.06.2012, 13:04

Che Netzer

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Überleg dir doch, wann es ein solches f geben kann.

03.06.2012, 13:40

Savior

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Hm also das einzige was ich dazu weiß, ist dass gelten muss $\begin{eqnarray*} f(a_1) \in [a_2,b_2] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b_1) \in [a_2,b_2] \end{eqnarray*}$

Also eventuell sowas wie $\begin{eqnarray*} f(a_1):=a_1+a_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b_1):=b_1+a_2 \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} a_1+a_2 \in [a_2,b_2] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_1+a_2 \in [a_2,b_2] \end{eqnarray*}$ )
Dann gilt
$\begin{eqnarray*} |a_1-b_1|=|f(a_1)-f(b_1)|=|(a_1+a_2)-(b_1+a_2)|=|a_1-b_1| \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

03.06.2012, 14:01

Ungewiss

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$\begin{eqnarray*} |x-y|=|f(x)-f(y)| \end{eqnarray*}$ speziell für y=a_1 ergibt sich, weil f als Isometrie streng monoton ist
Z.B.

$\begin{eqnarray*} x-a_1=f(x)-a_2\Rightarrow f(x)=x-a_1+a_2 \end{eqnarray*}$

Andererseits gilt dann auch $\begin{eqnarray*} b_1-y=b_2-f(y) \end{eqnarray*}$

Was ist also eine notwendige Bed. dafür, dass es eine derartige Isometrie gibt.

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03.06.2012, 14:18

Savior

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Hm jetzt scheint es etwas klarer zu werden smile

smile

Also wenn wir jetzt unser $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x):=x-a_1+a_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y):=y-b_1+b_2 \end{eqnarray*}$

in unsere Gleichung einsetzen folgt

$\begin{eqnarray*} |x-y|=|f(x)-f(y|=|(x-a_1+a_2)-(y-b_1+b_2)|=|x-y+((a_2+b_1)-(a_1+b_2))|=|x-y| \end{eqnarray*}$

falls gilt $\begin{eqnarray*} (a_2+b_1)=(a_1+b_2) \end{eqnarray*}$

Somit wäre die hinreichnede Bedingungfür die Isometrie, dass gilt $\begin{eqnarray*} (a_2+b_1)=(a_1+b_2) \end{eqnarray*}$ ?

03.06.2012, 14:23

Ungewiss

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Wenn du die Gleichung anders schreibst, wirds dir wohl noch klarer werden, weil dann eine Bedingung an die Länge der Intervalle sichtbar wird. Dir sollte also klar werden, dass eine Isometrie impliziert, dass die Längen gleich sind, und falls die Längen gleich sind man eine Isometrie leicht angeben kann.

03.06.2012, 14:35

Savior

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Ah ok, das heißt ich kann die GLeichung umschreiben in $\begin{eqnarray*} b_1-a_1=b_2-a_2 \end{eqnarray*}$ .
Dies zeigt mir dann, dass die Länge von $\begin{eqnarray*} I_1 \end{eqnarray*}$ gleich der Länge von $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ ist.
Somit ist eine Isometrie gegeben, wenn die Länge beider Intervalle gleich ist, das wäre nun so richtig? smile

smile

03.06.2012, 14:36

Ungewiss

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Ja, kannst du auch sagen, wie die Isometrie aussieht?

03.06.2012, 14:42

Savior

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Hm da fällt mir gerade leider nichts zu ein, wie ich sie genau angeben kann verwirrt

verwirrt

03.06.2012, 14:47

Ungewiss

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Wenn du genau hinschaust, stehen sogar 2 Möglichkeiten schon in einem deiner Beiträge.

f(x)=...

03.06.2012, 14:54

Savior

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Achso, habe etwas zu kompliziert gedacht Big Laugh

Big Laugh

Die Isometrie hat dann die Form
$\begin{eqnarray*} f(x)=x-a_1+a_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x)=x-b_1+b_2 \end{eqnarray*}$ ?

03.06.2012, 15:03

Ungewiss

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Richtig

Augenzwinkern

03.06.2012, 15:08

Savior

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Alles klar, danke für deine super Hilfe! Mit Zunge

Mit Zunge

03.06.2012, 15:11

Che Netzer

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Ja, vollkommen richtig. Wenn man eine Aussage darüber treffen möchte, wann die beiden Räume isometrisch isomorph sind.

03.06.2012, 15:18

Ungewiss

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Ach wie peinlich, da habe ich die Bijektivität ohne Grund angenommen. Hätte ich mich mal nicht eingemischt, sorry Che Netzer.

03.06.2012, 15:32

Savior

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Hm wo genau liegt denn der Fehler in der Lösung, was wurde falsch angenommen, wo haben wir die Bijektivität eingebaut?

03.06.2012, 16:10

Ungewiss

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Die Bijektivität habe ich bei f(a_1)=a_2 und f(b_1)=b_2 angenommen.

Viel ändert sich zum Glück nicht, nur dass die Intervalle nicht mehr gleiche Länge zu haben brauchen, sondern ein Intervall länger als das andere sein muss.

1.Wenn das Intervall, in das abgebildet wird, kleiner ist, kriegt man einen Widerspruch aus
$\begin{eqnarray*} |a_1-b_1|=|f(a_1)-f(b_2)| \end{eqnarray*}$

2. Wenn die Länge des Intervalls, in das abgebildet wird >= ist, kann man eine Isometrie durch den gleichen Ausdruck wie vorher angeben.

Anschaulich verschiebt man das Intervall [a1,b1] in das Intervall [a2,b2] und damit das möglich ist, muss im zweiten genug Platz sein.

03.06.2012, 16:42

Savior

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ok, gut dass es nicht viel ändert Big Laugh

Big Laugh

Ich wollte gerade versuchen auf den widerspruch bei 1. zu kommen, nur hab ich hier das Problem, dass ich nciht weiß was wieder $\begin{eqnarray*} f(a_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b_2) \end{eqnarray*}$ sind?
Wir hatten ja vorhin die Isometrie $\begin{eqnarray*} f(x)=x-a_1+a_2 \end{eqnarray*}$ , wäre dann hier $\begin{eqnarray*} f(a_1)=a_1-a_1+a_2 \end{eqnarray*}$ , oder darf ich das f(x) nicht benutzen, da wir es vorhin unter einer falschen Bedingung erhalten haben?

03.06.2012, 17:10

Ungewiss

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Da $\begin{eqnarray*} f(a_1), f(b_1)\in [a_2,b_2] \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |f(a_1)-f(b_1)|\leq |b_2-a_2| \end{eqnarray*}$ .

03.06.2012, 17:31

Savior

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Stimmt natürlich, wiese kann ich nur sowas nicht gleich erkennen verwirrt

verwirrt

Das heißt
Wir nehmen an, $\begin{eqnarray*} I_2 < I_1 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} |a_2-b_2|<|a_1-b_1| \end{eqnarray*}$

Es gilt aber
$\begin{eqnarray*} |a_1-b_1|=|f(a_1)-f(b_1)| \leq |a_2-b_2| \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} |a_1-b_1| \leq |a_2-b_2| \end{eqnarray*}$

Was ein Widerspruch zu unserer Annahme ist, somit muss gelten $\begin{eqnarray*} I_1 \leq I_2 \end{eqnarray*}$

Was ich mich noch frage, warum können wir dann für $\begin{eqnarray*} I_1 \leq I_2 \end{eqnarray*}$
die gleich Isometrie wie vorhin angeben, sprich wir nutzen dann wieder die Bijektivität aus, welche aber doch nicht gegeben ist?

03.06.2012, 17:35

Ungewiss

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Betrachte $\begin{eqnarray*} f(x)=x-a_1+a_2 \end{eqnarray*}$ , das ist zwar nicht mehr bijektiv, aber noch immer isometrisch und nimmt nur werte in [a2,b2], an. Mehr brauchen wir auch nicht.

03.06.2012, 17:59

Savior

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Was mich hier verwirrt, wir dürfen ja $\begin{eqnarray*} a_2=f(a_1) \end{eqnarray*}$ nicht verwenden, aber auf $\begin{eqnarray*} f(x)=x-a_1+a_2 \end{eqnarray*}$
sind wir doch aber eben nur durch diese Annahme gekommen

verwirrt

Oder darf ich f(x) einfach so mal definieren ohne dabei Vorarbeit zu leisten wie ich auf dieses jetzt gekommen bin?

03.06.2012, 18:04

Ungewiss

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Ja, es ist egal, wie man auf eine Isometrie kommt, solange man nachweist, dass sie tatsächlich eine ist. Und f(a1)=a2 gilt bei dieser Isometrie schon, nur ist f(b1)<=b_2 und nicht mehr unbedingt gleich.

03.06.2012, 18:38

Savior

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Stimmt, da wir nun gezeigt haben, dass gilt $\begin{eqnarray*} I_1 \leq I_2 \end{eqnarray*}$ können wir eine "untere Schranke" anlegen mit $\begin{eqnarray*} f(a_1)=a_2 \end{eqnarray*}$
und dadurch muss dementsprechend gelten $\begin{eqnarray*} f(b_1) \leq b_2 \end{eqnarray*}$ (andersrum könnte man auch sagen $\begin{eqnarray*} f(b_1)=b_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(a_1) \geq a_2 \end{eqnarray*}$ )?

Also mit der Vorrausetzung $\begin{eqnarray*} f(a_1)=a_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b_1) \leq b_2 \end{eqnarray*}$ folgt nun für f(x)
$\begin{eqnarray*} x-y=f(x)-f(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftarrow\Rightarrow x-a_1=f(x)-a_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftarrow\Rightarrow f(x)=x-a_1+a_2 \end{eqnarray*}$

Für f(y) gilt
$\begin{eqnarray*} x-y=f(x)-f(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftarrow\Rightarrow b_1-y=f(b_1)-f(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftarrow\Rightarrow b_1-y\leq b_2-f(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftarrow\Rightarrow f(y) \leq y-b_1+b_2 \end{eqnarray*}$

Damit folgt

$\begin{eqnarray*} |x-y|=|f(x)-f(y)| \leq |x-a_1+a_2-y+b_1-b_2|=|x-y+((b_1+a_2)-(a_1+b_2))| \end{eqnarray*}$

Jetzt stecke ich aber an dieser Stelle noch etwas fest, also für $\begin{eqnarray*} I_1=I_2 \end{eqnarray*}$ sieht man, dass die Gleichung aufgeht, nur wie kann ich noch zeigen, dass dies auch für $\begin{eqnarray*} I_1 \leq I_2 \end{eqnarray*}$ gilt verwirrt

verwirrt

03.06.2012, 22:43

Che Netzer

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Zitat:

Original von Savior
Stimmt, da wir nun gezeigt haben, dass gilt $\begin{eqnarray*} I_1 \leq I_2 \end{eqnarray*}$

Was soll das denn bedeuten?

Auf jeden Fall hast du nicht alle Fälle abgedeckt, du könntest natürlich noch mit $\begin{eqnarray*} f(a_1) \end{eqnarray*}$ innerhalb des zweiten Intervalls anfangen.
Und auch wenn die Intervalle gleich groß sind, hast du mit $\begin{eqnarray*} f(a_1)=b_2 \end{eqnarray*}$ noch eine zweite Möglichkeit.

Es reicht aber auch, zu zeigen, dass es eine isometrische Abbildung gibt. Dafür kannst du dann $\begin{eqnarray*} x\mapsto x-a_1+a_2 \end{eqnarray*}$ benutzen. (das wendest du dann natürlich auf x UND y an)

04.06.2012, 13:58

Savior

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Zitat:

Original von Che Netzer
Was soll das denn bedeuten?

Dass der Zielbereich größer sein muss, was ich oben gezeigt habe, oder ist daran etwas falsch?

Zitat:

Auf jeden Fall hast du nicht alle Fälle abgedeckt, du könntest natürlich noch mit $\begin{eqnarray*} f(a_1) \end{eqnarray*}$ innerhalb des zweiten Intervalls anfangen.
Und auch wenn die Intervalle gleich groß sind, hast du mit $\begin{eqnarray*} f(a_1)=b_2 \end{eqnarray*}$ noch eine zweite Möglichkeit.

Es reicht aber auch, zu zeigen, dass es eine isometrische Abbildung gibt. Dafür kannst du dann $\begin{eqnarray*} x\mapsto x-a_1+a_2 \end{eqnarray*}$ benutzen. (das wendest du dann natürlich auf x UND y an)

Was genau meinst du mit x UND y?
Meinst du einfach das damit?
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|=|(x-a_1+a_2)-(y-a_1+a_2)|=|x-y| \end{eqnarray*}$

04.06.2012, 19:34

Che Netzer

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Du kannst Mengen nicht mit $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ vergleichen. $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ wäre hier auch falsch.

Zu deiner Rechnung: Ja, genau so sollte das aussehen. Beim letzten mal hast du auf y eine andere Funktion angewandt als auf y.

04.06.2012, 20:46

Savior

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Stimmt natürlich, es handelt sich ja hier um Mengen.

Nochmal allgemein zur Aufgabe. Ich weiß jetzt noch nicht ganz genau wie ich das aufschreiben soll, wann die beiden metrischen Räume isometrisch sind.

Also ich definiere mein $\begin{eqnarray*} f:[a_1,b_1] \rightarrow [a_2,b_2] \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} x \mapsto x-a_1+a_2 \end{eqnarray*}$

Zeige dann mit $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|=|(x-a_1+a_2)-(y-a_1+a_2)|=|x-y| \end{eqnarray*}$ , dass damit eine Isometrie gegeben ist.

Muss ich noch begründen wie ich auf $\begin{eqnarray*} x \mapsto x-a_1+a_2 \end{eqnarray*}$ genau gekommen bin?

Also dass ich definiert habe $\begin{eqnarray*} f(a_1)=a_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b_1) \leq b_2 \end{eqnarray*}$
Und damit komme ich mit
$\begin{eqnarray*} x-y=f(x)-f(y) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} x-a_1=f(x)-a_2 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} f(x)=x-a_1+a_2 \end{eqnarray*}$

Wäre das soweit korrekt?

Aber muss ich nicht dann noch etwas zu den Mengen sagen, also zum Definitionsbereich und Zielbereich, wie sich beide zueinander verhalten müssen?

05.06.2012, 19:08

Savior

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wäre das nun so korrekt? verwirrt

verwirrt

05.06.2012, 19:17

Che Netzer

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Zitat:

Original von Savior
Muss ich noch begründen wie ich auf $\begin{eqnarray*} x \mapsto x-a_1+a_2 \end{eqnarray*}$ genau gekommen bin?

Nein, du solltest nur zeigen können, dass das eine Isometrie ist.

Wie genau wurde bei euch "isometrisch" eigentlich definiert? Für den Fall, dass damit das gemeint ist, was ich unter "isometrisch isomorph" kenne.

05.06.2012, 19:51

Savior

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Im Skript wird die Isometrie folgendermaßen definiert:

Es seien $\begin{eqnarray*} (X, d_x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (Y, d_y) \end{eqnarray*}$ zwei metrische Räume.
Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f : X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ heit Isometrie, falls f Abstände erhält, falls also für alle $\begin{eqnarray*} p,q \in X \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} d_y(f(p),f(q)) = d_x(p,q) \end{eqnarray*}$

Also ich hatte heute mein LA-tut, und da hat der Tutor gemeint, wir sollen bei der Aufgabe eine isometrische Abbildung finden und anhand dieser Aussagen über a und b treffen

05.06.2012, 20:13

Che Netzer

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Und wann sind zwei Räume isometrisch? Wenn genügt, dass eine Isometrie von einem in den anderen Raum existiert, sind die beiden Räume immer isometrisch.

05.06.2012, 20:27

Savior

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Es reicht also zu zeigen, dass eine Isometrie von $\begin{eqnarray*} I_1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ esistiert.
Die andere Richtung muss somit nicht gezeigt werden.
Die isometrische Abbildung ist ja nun mit $\begin{eqnarray*} x \rightarrow x-a_1+a_2 \end{eqnarray*}$ gegeben und es gilt

$\begin{eqnarray*} d(f(x),f(y))=|f(x)-f(y)|=|x-a_1+a_2-(y-a_1+a_2)|=|x-y|=d(x,y) \end{eqnarray*}$

Somit haben wir eine Isometrie gegeben mit $\begin{eqnarray*} x \rightarrow x-a_1+a_2 \end{eqnarray*}$ aus dem Raum $\begin{eqnarray*} I_1 \end{eqnarray*}$ in dem Raum $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$

Nur ich weiß einfach nicht, was mir das jetzt über a und b genau sagt?

05.06.2012, 20:32

Che Netzer

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Was sind a und b überhaupt?

05.06.2012, 20:36

Savior

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a und b sind jeweils die Grenzen der einzelnen Räume

05.06.2012, 21:34

Che Netzer

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Das ergibt kaum Sinn...
Meinst du $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,b_1,b_2 \end{eqnarray*}$ ?

05.06.2012, 21:44

Savior

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ja, $\begin{eqnarray*} a_1,b_1 \end{eqnarray*}$ bilden die Grenzen von $\begin{eqnarray*} I_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2,b_2 \end{eqnarray*}$ die von $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$

05.06.2012, 22:09

Che Netzer

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Und wieso ist nun von a und b die Rede?

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