Zyklische Gruppen

01.06.2012, 13:50	moduli	Auf diesen Beitrag antworten »
Zyklische Gruppen Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} m\in \mathbb Z \geq 1 \end{eqnarray}$ . Für jedes $\begin{eqnarray} r\in \mathbb Z \geq 1 \end{eqnarray}$ definiere $\begin{eqnarray} \psi_{r} : (\mathbb Z /m\mathbb Z )^{} -> (\mathbb Z /m\mathbb Z )^{}, x -> x^{r} \end{eqnarray}$ . Weiter sei $\begin{eqnarray} a\in \mathbb Z \geq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b = \frac{\phi(m)}{ggT(a,\phi(m))} \end{eqnarray}$ . Man zeige, dass wenn $\begin{eqnarray} (\mathbb Z /m\mathbb Z )^{} \end{eqnarray}$ zyklisch ist, die Beziehung $\begin{eqnarray} Kern \psi_{a} = Bild \psi_{b} \end{eqnarray}$ gilt, also für jedes $\begin{eqnarray} y \in (\mathbb Z/m\mathbb Z)^{} \end{eqnarray}$ genau dann $\begin{eqnarray} \psi_{a} (y) = 1 + m\mathbb Z \end{eqnarray}$ gilt, wenn ein $\begin{eqnarray} x\in (\mathbb Z /m\mathbb Z)^ \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \psi_{b} = y \end{eqnarray}$ existiert. Meine Ideen:* Ideen wie ich an diese Aufgabe rangehen kann, habe ich leider keine. Aber ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet!
01.06.2012, 18:41	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst einmal ist die Inklusion $\begin{eqnarray} Bild~ \psi_b \subseteq Kern~ \psi_a \end{eqnarray}$ sehr einfach zu zeigen, da braucht man gar nicht die Eigenschaft, dass die Gruppe zyklisch ist. Für die andere Inklusion solltest du zunächst folgendes zeigen: Ist g Erzeuger von $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/m\mathbb Z)^ \end{eqnarray}$ , so hat $\begin{eqnarray} g^a \end{eqnarray}$ gerade Ordnung b. Dann ergibt sich nämlich: Ist $\begin{eqnarray} g^s \in Kern~ \psi_a \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} 1=g^{sa} = (g^a)^s \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} b \| s \end{eqnarray*}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »