Monotonie bed. Erwartungswert

01.06.2012, 15:40

Gast11022013

Monotonie bed. Erwartungswert

Meine Frage:
Hallo, ich möchte für den allgemeinen Erwartungswert gerne folgende beiden EIGENSCHAFTEN beweisen:

Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},P) \end{eqnarray*}$ Wahrscheinlichkeitsraum und $\begin{eqnarray*} X,Y\colon \Omega\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ Zufallsvariablen in $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}_1((\Omega,\mathcal{A},P)) \end{eqnarray*}$ . Außerdem sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{C} \end{eqnarray*}$ Unter-sigma-Algebra von $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt:

(1) Wenn $\begin{eqnarray*} X\leq Y \end{eqnarray*}$ f.s., so auch $\begin{eqnarray*} E(X|\mathcal{C})\leq E(Y|\mathcal{C}) \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} \vert E(X|\mathcal{C})\vert\leq E(\vert X\vert|\mathcal{C}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also zu (1) habe ich erstmal nur Folgendes:

Sei $\begin{eqnarray*} X\leq Y \end{eqnarray*}$ fast sicher. Dann gilt aufgrund der allgemeinen Definition des bedingten Erwartungswerts:

$\begin{eqnarray*} \int_{C}(E(Y|\mathcal{C})-E(X|\mathcal{C}))\, dP=\int_{C}(Y-X)\, dP\geq 0~\forall~C\in\mathcal{C} \end{eqnarray*}$ .

Wie folgt daraus nun die Aussage?

Vielleicht daraus, daß $\begin{eqnarray*} E(Y|\mathcal{C})-E(X|\mathcal{C}) \end{eqnarray*}$ als Differenz zweier $\begin{eqnarray*} \mathcal{C} \end{eqnarray*}$ -messbarer Funktionen ebenfalls $\begin{eqnarray*} \mathcal{C} \end{eqnarray*}$ -messbar ist und das bedeutet doch, daß das obige Integral nur dann nicht-negativ ist, wenn der Integrand nicht-negativ ist?

Oder als Widerspruchbeweis:

Angenommen $\begin{eqnarray*} E(Y|C)-E(X|C)<0 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} C\in\mathcal{C} \end{eqnarray*}$ . Dann könnte das Integral dieser Funktion über C nur dann nicht-negativ sein, wenn $\begin{eqnarray*} dP(C)\leq 0 \end{eqnarray*}$ . Aber es ist doch $\begin{eqnarray*} dP(C)\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Das ist ein Widerspruch.

Zu (2) habe ich mir nur Folgendes überlegen können:

$\begin{eqnarray*} X\leq\vert X\vert \end{eqnarray*}$ , also mit (1): $\begin{eqnarray*} E(X|\mathcal{C})\leq E(\vert X\vert|\mathcal{C}) \end{eqnarray*}$ . Aber wie folgt daraus die Aussage?

01.06.2012, 17:48

Gast11022013

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Ich habe noch was ergänzt.

Vielleicht ist es jetzt besser. Wink

01.06.2012, 17:59

HAL 9000

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Ihr habt doch bestimmt schon gezeigt, dass die bedingte Erwartung $\begin{eqnarray*} E(\cdot \bigm| \mathcal{C}) \end{eqnarray*}$ ein linearer Operator ist, damit ist (1) äquivalent zu

(1') Wenn $\begin{eqnarray*} Z\geq 0 \end{eqnarray*}$ f.s., so auch $\begin{eqnarray*} E(Z \bigm| \mathcal{C}) \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Dennis2010
Zu (2) habe ich mir nur Folgendes überlegen können:

$\begin{eqnarray*} X\leq\vert X\vert \end{eqnarray*}$ , also mit (1): $\begin{eqnarray*} E(X|\mathcal{C})\leq E(\vert X\vert|\mathcal{C}) \end{eqnarray*}$ .

Das ist doch bereits der komplette Beweis unter der Annahme, dass (1) richtig ist! Wieso noch Zweifel?

01.06.2012, 18:03

Gast11022013

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Zitat:

Original von HAL 9000

Das ist doch bereits der komplette Beweis unter der Annahme, dass (1) richtig ist! Wieso noch Zweifel?

Das ist schon der Beweis?

Aber man soll doch nicht $\begin{eqnarray*} E(X|\mathcal{C})\leq E(\vert X\vert|\mathcal{C}) \end{eqnarray*}$ zeigen, sondern auf der linken Seite soll ja

$\begin{eqnarray*} \vert E(X|\mathcal{C})\vert \end{eqnarray*}$

stehen.

Oder ist das egal bzw. identisch und ich durchblicke da etwas nicht?

01.06.2012, 18:09

HAL 9000

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Achso, na dann machst du dasselbe nochmal für $\begin{eqnarray*} -X\leq |X| \end{eqnarray*}$ und erhältst damit dann (wiederum über die Linearität)

$\begin{eqnarray*} -E(X \bigm| \mathcal{C}) = E(-X \bigm| \mathcal{C}) \leq E(|X| \bigm| \mathcal{C}) \end{eqnarray*}$ .

01.06.2012, 18:19

Gast11022013

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Daß ich auf sowas nicht komme!

Dankeschön!

Damit ist (2) abgehakt.

Nochmal zu (1):

Ich beziehe mich da auf einen Beweis, den ich in einem Buch gefunden habe und den ich gerne verstehen würde.

Da steht, wie gesagt, erst daß

$\begin{eqnarray*} \int_{C}[E(Y|\mathcal{C})-E(X|\mathcal{C})]\, dP=\int_{C}[Y-X]\, dP\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Das will mir noch einigermaßen einleuchten, denn da benützt man einfach eine Eigenschaft des bedingten Erwartungswerts.

(Eine andere ist die, daß $\begin{eqnarray*} E(Y|\mathcal{C})-E(X|\mathcal{C}) \end{eqnarray*}$ offenbar $\begin{eqnarray*} \mathcal{C} \end{eqnarray*}$ -messbar ist (da es ja $\begin{eqnarray*} E(Y|\mathcal{C}) \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} E(X|\mathcal{C}) \end{eqnarray*}$ sind).)

Doch die weitere Argumentation verstehe ich dann nicht.

Dort steht wörtlich:

Da $\begin{eqnarray*} E(Y|\mathcal{C})-E(X|\mathcal{C}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathcal{C} \end{eqnarray*}$ - messbar ist, muss es fast sicher nicht-negativ sein (betrachte die Menge $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ für die es negativ ist). Das beweist die Aussage.

Könntest Du mir das erklären?

01.06.2012, 18:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dennis2010
Dort steht wörtlich:

Da $\begin{eqnarray*} E(Y|\mathcal{C})-E(X|\mathcal{C}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathcal{C} \end{eqnarray*}$ - messbar ist, muss es fast sicher nicht-negativ sein (betrachte die Menge $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ für die es negativ ist).

Eigentlich würde es ausführlich so gehen: Betrachte die Menge

$\begin{eqnarray*} C_n := \left\{ \omega \Bigm| E(Y \bigm| \mathcal{C})(\omega) - E(X \bigm| \mathcal{C})(\omega) = E(Y-X \bigm| \mathcal{C})(\omega) \leq -\frac{1}{n} \right\} \end{eqnarray*}$

Wegen der $\begin{eqnarray*} \mathcal{C} \end{eqnarray*}$ -Messbarkeit der bedingten Erwartungen gilt auch $\begin{eqnarray*} C_n\in \mathcal{C} \end{eqnarray*}$ . Damit gilt nun

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{C_n } [E(Y \bigm| \mathcal{C}) - E(X \bigm| \mathcal{C})] ~ \dd P \leq -\frac{1}{n} P(C_n) \end{eqnarray*}$ ,

andererseits (s.o.) soll dieses Integral $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ sein - das geht nur wenn $\begin{eqnarray*} P(C_n)=0 \end{eqnarray*}$ ist. Und das für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , also ist auch für $\begin{eqnarray*} C := \bigcup\limits_{n\geq 1} C_n \in \mathcal{C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = P(C) = P\left( E(Y \bigm| \mathcal{C})- E(X \bigm| \mathcal{C}) < 0 \right) \end{eqnarray*}$ .

01.06.2012, 18:46

Gast11022013

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Ist diese Setzung willkürlich oder kämen auch andere Mengen in Frage, für die das negativ ist?

01.06.2012, 18:50

HAL 9000

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Ja, es ist eine gewisse Willkür. Jede andere negative Nullfolge tut es auch.

01.06.2012, 18:52

Gast11022013

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1000 Dank.

Jetzt kapiere ich es!

Gott