Satz des Pythagoras - Verhältnisse

01.06.2012, 15:40

widna

Satz des Pythagoras - Verhältnisse

Hi Leute,
Nur mal so aus Interesse würde ich gerne wissen ob es in dem Satz:
$\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 = c^2 \end{eqnarray*}$
ein Verhältnis von a zu c gibt wenn b konstant ist. Also zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} c(t)=a^t + 25 \end{eqnarray*}$
Ich hoffe ihr versteht was ich meine...
Vielen Dank im Voraus

01.06.2012, 17:22

widna

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OK vielleicht sollte ich es anders formulieren:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2 + 25}=c \end{eqnarray*}$
So ich habe jetzt nach c aufgelöst. b ist konstant 5 also b^2=25.
Gibt es nun eine Gleichung, die das Verhältnis von a zu c beschreibt?
Also was passiert wenn man a verdoppelt oder verdreifacht.
So ist es verständlicher oder? Big Laugh

01.06.2012, 17:51

klauss

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Das Schöne an der Mathematik für Tüftler:
Zu letzterer Frage könntest Du selbst eine Lösung entwickeln, indem Du z. B. in die Gleichung für a (2a) oder (3a) einsetzt und schaust, ob sich eine Beziehung finden läßt.

Und dann wäre zu klären, ob das Ergebnis noch als Satz des Pythagoras zu bezeichnen wäre. Liegt noch ein rechtwinkliges Dreieck vor, wenn man nur a verändert und b konstant bleibt?

01.06.2012, 18:27

widna

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Naja ich bin mir nicht sicher aber ich denke wenn c auch vergrößert wird müsste es ein rechtwinkliges Dreieck bleiben...

01.06.2012, 18:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von widna
Gibt es nun eine Gleichung, die das Verhältnis von a zu c beschreibt?
Also was passiert wenn man a verdoppelt oder verdreifacht.

Eigentlich ist $\begin{eqnarray*} c=\sqrt{a^2 + 25} \end{eqnarray*}$ diese Gleichung! Wenn du hoffst, dass du das in eine Art linearen, quadratischen usw. sonstwelchen Zusammenhang vereinfachen kannst: Vergiss es, das ist bereits die einfachstmögliche Darstellung des Zusammenhangs. Augenzwinkern

Für sehr große $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ geht das asymptotisch in $\begin{eqnarray*} c\approx a + \frac{25}{2a} \end{eqnarray*}$ über, aber das ist es wohl nicht, was du suchst.

01.06.2012, 22:24

klauss

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Zitat:

Original von widna
Naja ich bin mir nicht sicher aber ich denke wenn c auch vergrößert wird müsste es ein rechtwinkliges Dreieck bleiben...

Man kann ja über alles mal nachdenken.
Wenn Du eine Formel magst, könntest Du folgende Behauptung überprüfen (lassen):
Wenn a und b gegeben sind und dann z. B. a um den Faktor k verlängert wird und b gleich bleibt, dann muß man c um den Faktor
$\begin{eqnarray*} \sqrt{k^{2}+\frac{b^{2}(1-k^{2}) }{a^{2}+b^{2} } } \end{eqnarray*}$
verlängern, damit es ein rechtwinkliges Dreieck bleibt (wobei a die ursprüngliche Länge ist).
Stimmt das?

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