Eigenvektoren - Homogenes Gleichungssystem

01.06.2012, 18:50

DerLaborant

Eigenvektoren - Homogenes Gleichungssystem

Hallo Leute. Habe die Aufgabe bereits mehrmals gerechnet und komme immer wieder zum selben (anscheinend falschen) Ergebnis:

Bestimmen Sie die Eigenvektoren zu folgender Matrix:
$\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Eigenwerte habe ich bereits berechnet.
Kommt raus: $\begin{eqnarray*} \lambda _{1/2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5} }{2} \end{eqnarray*}$

Nun will ich den Eigenvektor zu $\begin{eqnarray*} \lambda _{1} \end{eqnarray*}$ berechnen:
$\begin{eqnarray*} (X-\lambda _{1/2}\cdot E)=\begin{pmatrix} -(\frac{1+\sqrt{5} }{2}) & 1 \\ 1 & \frac{1-\sqrt{5} }{2} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -(\frac{1+\sqrt{5} }{2}) & 1 \\ 1 & \frac{1-\sqrt{5} }{2} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

führt zum Gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} -(\frac{1+\sqrt{5} }{2}) \cdot x + y =0 \\ \wedge x + (\frac{1-\sqrt{5} }{2}) \cdot y=0 \end{eqnarray*}$

Aus Gleichung I folgt: $\begin{eqnarray*} y= (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5} }{2}) \cdot x \end{eqnarray*}$
y eingesetzt in Gleichung II: $\begin{eqnarray*} X+(\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{5}}{2}) \cdot (\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{5}}{2})\cdot X \end{eqnarray*}$ führt letzendlich zu $\begin{eqnarray*} X=X \end{eqnarray*}$ . Wenn ich nun für $\begin{eqnarray*} X=1 \end{eqnarray*}$ wähle kommt raus: $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5} }{2} . \end{eqnarray*}$
In der Lösung steht jedoch die Eigenvektoren lauten:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5} }{2} \\ 1 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} -(\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{5} }{2} ) \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Vielleicht sieht ja jemand den Fehler. Ich kriegs nicht raus -.-
Danke für die Hilfe.
LG DerLaborant

01.06.2012, 23:48

frank09

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eigenvektoren - Homogenes Gleichungssystem
Vergleich doch mal das Verhältnis deiner Eigenvektor-Koordinaten zueinander mit dem Verhältnis der Lösungsvektor-Koordinaten zueinander.

02.06.2012, 09:34

DerLaborant

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eigenvektoren - Homogenes Gleichungssystem
Mir ist dazu etwas eingefallen:
Wenn ich statt X=1 einfach X=-1 wähle und dann die Zeilen vertausche, ändert sich ja das Vorzeichen und ich bekomme genau den Vektor in der Lösung.
Kann ich das so machen?

02.06.2012, 17:09

frank09

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eigenvektoren - Homogenes Gleichungssystem
Du kannst nicht einfach x- und y-Koordinate vertauschen.
Den Verhältnis-Vergleich hast du wohl noch nicht gemacht:

Dein Vektor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{1+\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$
Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}}{1}=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{2(\sqrt{5}+1)}=\frac{5-1}{2(\sqrt{5}+1)} \end{eqnarray*}$

Was fällt dir auf und was sagt dir das?

02.06.2012, 19:54

DerLaborant

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eigenvektoren - Homogenes Gleichungssystem
Das Verhältnis ist dasselbe.
Und das bedeutet dann?
.. dass mein Vektor auch ein möglicher Eigenvektor ist?

02.06.2012, 23:41

frank09

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eigenvektoren - Homogenes Gleichungssystem

Zitat:

.. dass mein Vektor auch ein möglicher Eigenvektor ist?

Genau!