Die Basis von Vektoren zeigen, wie ?

01.06.2012, 18:53

instru

Die Basis von Vektoren zeigen, wie ?

Meine Frage:
Könnt ihr mir bitte erklären, wie ich zeigen kann, dass die folgende Vektoren eine Basis des R² bilden ?

$\begin{eqnarray*} \vec{a_{1} } = (2|1); \vec{a_{2} } = (3|4) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Leider keine ^^

01.06.2012, 18:54

Iorek

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Wie ist die Basis eines Vektorraums denn definiert? Was für Eigenschaften muss eine Basis erfüllen?

01.06.2012, 19:09

instru

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Mehr hab ich nicht im Buch stehen, also irgendwie muss man damit was anfangen können, nur ich tu es leider nicht.
Wir hatten bisher nur die Basis nachdem Schema (1|0|0|...|0);(0|1|0|...|0),...,(0|0|0|...|1).

Hier die genaue Aufgabenstellung:
5. Zeigen sie, daß die folgende Vektoren eine Basis des R² bilden.
a) $\begin{eqnarray*} \vec{a_{1} } = (2|1); \vec{a_{2} } = (3|4) \end{eqnarray*}$

01.06.2012, 19:15

Iorek

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Ihr habt also den Begriff einer Basis noch nie behandelt und eingeführt und gesagt, was man darunter überhaupt versteht? verwirrt

Ich werfe mal die Begriffe Erzeugendensystem, linear abhängig, linear unabhängig in den Raum, diese sollten im Zusammenhang mit dem Basisbegriff mal gefallen sein. Zum Nachrechnen bietet sich letztendlich ein Gleichungssystem an.

01.06.2012, 19:25

instru

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wir haben den Begriff heute eingeführt und unser lk Lehrer ist, nun ja, sagen wir mal sehr fordernd ^^
l.a und l.u haben wir bereits gehabt, aber

Zitat:

Erzeugendensystem

ist für mich ganz neu.

Die einzige "Rechnung" zum Thema Basis war folgende:
$\begin{eqnarray*} (5|6|7)= 5\cdot (1|0|0)+ 6\cdot (0|1|0)+ 7\cdot (0|0|1) \end{eqnarray*}$

01.06.2012, 19:38

Iorek

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Ok, dann mal ein (vereinfachter) Einstieg:

Eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ besteht aus $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ linear unabhängigen Vektoren, d.h. eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ besteht aus zwei linear unabhängigen Vektoren, eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ würde aus drei linear unabhängigen Vektoren bestehen etc.

Du musst also überprüfen, ob die gegebenen Vektoren linear unabhängig sind.

01.06.2012, 19:49

instru

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Welche Informationen hat man den über den Vektor ?
Man muss eigentlich ja nur zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{2} \end{eqnarray*}$ nicht kollinear sind, oder ?

Aber, dass kann man (ich) eigentlich nur zeigen, wenn ich die Richtung des Vektors kenne. Und laut unseres Lehrer gibt (2|1) nicht an, dass der Vektor 2LE nach rechts und 1LE nach oben "geht".

01.06.2012, 20:04

Iorek

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Die beiden Vektoren hast du doch gegeben, das ist alles was du benötigst.

Wann sind zwei bzw. allgemeiner wann ist eine Menge von Vektoren denn linear unabhängig?

01.06.2012, 20:25

instru

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Das heißt die Vektoren sehen so aus, wie ich sie im Anhang dargestellt habe ?

$\begin{eqnarray*} \vec{a_{1} },\vec{a_{2} },\vec{a_{3} },...,\vec{a_{n} } \end{eqnarray*}$ sind l.u. wenn, sich für die Darstellung $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \cdot \vec{a_{1} } + \lambda_{2} \cdot \vec{a_{2} } + \lambda_{3} \cdot \vec{a_{3} } + ... + \lambda_{n} \cdot \vec{a_{n} } \end{eqnarray*}$ ergibt, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=...=\lambda_{n}=0 \end{eqnarray*}$ .

Also ist $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=...=\lambda_{n}=0 \end{eqnarray*}$ die einzige Lösung Daher kann die Linearkombination nur dann den $\begin{eqnarray*} \vec{0} \end{eqnarray*}$ bilden, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \lambda_{n} = 0 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ich das jetzt richtig dargestellt habe.

01.06.2012, 20:28

Iorek

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Die graphische Darstellung brauchst du gar nicht. Augenzwinkern

Sie ist sogar eher hinderlich, also denk da erstmal gar nicht mehr dran.

Du hast die Vektoren $\begin{eqnarray*} a_1=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix},~a_2=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , stelle doch mal die Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot a_1 + \lambda_2 \cdot a_2 = 0 \end{eqnarray*}$ auf und löse das entstehende Gleichungssystem nach $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2 \end{eqnarray*}$ auf.

01.06.2012, 20:58

instru

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Ich würde es jetzt so machen:
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \cdot \vec{a_{1} } + \lambda_{2} \cdot \vec{a_{2} } = 0 \end{eqnarray*}$

und dann die einzelnen Multiplikationen betrachten: $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \cdot \vec{a_{1} } = 0 \lambda_{2} \cdot \vec{a_{2} } = 0 \lambda_{1} \cdot (2|1) = 0 \lambda_{2} \cdot (3|4) = 0 \end{eqnarray*}$

damit das Erfüllt ist, müssen sowohl $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} \lambda_{2} = 0 \end{eqnarray*}$ sein. Sie dürfen sogar keine anderen Werte einnehmen und daher wären diese Vektoren l.u.

Ich weiß jetzt gerade nicht, wie ich $\begin{eqnarray*} \lambda_{1},\lambda_{2} \end{eqnarray*}$ auf eine Seite kriegen soll, da man (ich) schließlich nicht durch einen Vektor teilen kann.
z.B.

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \cdot \vec{a_{1} } + \lambda_{2} \cdot \vec{a_{2} } = 0 |-\lambda_{2} \cdot \vec{a_{2} } \lambda_{1} \cdot \vec{a_{1} } = -\lambda_{2} \cdot \vec{a_{2} } | :\vec{a_{2} } \end{eqnarray*}$
Diese Operation geht nicht

Oder meintest du dass mit dem auf lösen anders (anders vorgehen) ?

01.06.2012, 21:01

Iorek

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Ich weiß nicht, wieso du das in zwei Gleichungen aufteilst, das ist falsch. Schreibe die Gleichung einmal ausgeschrieben hin. Es ergeben sich insgesamt zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Dieses Gleichungssystem musst du lösen.

01.06.2012, 21:14

instru

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Wenn ich die Gleichung ausschreibe ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \cdot \vec{a_{1} } + \lambda_{2} \cdot \vec{a_{2} } = 0 \lambda_{1} \cdot (2|1) + \lambda_{2} \cdot (3|4) = 0 |-\lambda_{2} \cdot (3|4) \lambda_{1} \cdot (3|4) = -\lambda_{2} \cdot (3|4) \end{eqnarray*}$

Und ab hier komm ich nicht weiter. Um $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}, \lambda_{2} \end{eqnarray*}$ zu erhalten müsste man durch einen Vektor teilen ...
Oder übersehe ich irgendwas ? (vermutlich ^^)

01.06.2012, 21:17

Iorek

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$\begin{eqnarray*} \lambda_1\cdot a_1+\lambda_2\cdot a_2=0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2\lambda_1 \\ \lambda_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \lambda_2 \\ 4 \lambda_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus lassen sich zwei Gleichungen mit jeweils zwei Unbekannten rausholen, das entstehende Gleichungssystem kann man dann lösen.

01.06.2012, 21:39

instru

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Demnach also:
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \cdot (2|1) + \lambda_{2} \cdot (3|4) = 0 (2 \cdot \lambda_{1}| \lambda_{1}) + (3 \cdot \lambda_{2}| 4 \cdot \lambda_{2}) = 0 \lambda_{1} + 4 \cdot \lambda_{2} = 0 2 \cdot \lambda_{1} + 3 \cdot \lambda_{2} = 0 \lambda_{1} + 4 \cdot \lambda_{2} = 0 |-4 \cdot \lambda_{2} \lambda_{1} = -4 \cdot \lambda_{2} 2 \cdot \lambda_{1} + 3 \cdot \lambda_{2} = 0 | \lambda_{1} = -4 \cdot \lambda_{2} -8 \cdot \lambda_{2} + 3 \cdot \lambda_{2} = 0 -5 \cdot \lambda_{2} = 0 |: -5 \lambda_{2} = 0 \lambda_{1} + 4 \cdot \lambda_{2} = 0 |\lambda_{2} = 0 \lambda_{1} + 4 \cdot 0 = 0 \lambda_{1} + 0 = 0 \lambda_{1} = 0 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich hab hier jetzt nicht irgendwo was vertauscht. Aber so müsste es doch gehen, oder ?

Vielen Dank auf jeden Fall schon mal !!! Freude

01.06.2012, 21:43

Iorek

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Ich hätte es mit dem Gaußverfahren gelöst, das Einsetzungsverfahren tuts aber auch. Ansonsten stimmt das soweit.

01.06.2012, 21:50

instru

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mhh ich kenne das Gaußverfahren nicht (vielleicht unter anderem Namen; mathebücher sind da recht eigen ^^)

Aber ich bin froh endlich die Lösung zu haben Gott

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