Verkettete verkettete Funktion ableiten

01.06.2012, 19:44

blu3.Eye

Verkettete verkettete Funktion ableiten

Hallo

Ich will diese Funktion ableiten:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (1+e^{-x})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2(1+e^{-x})^1 ???? -e^{-x} \end{eqnarray*}$

Ab den Fragezeichen bin ich mir nun nicht sicher, ob da ein Mal hinkommt oder nicht?

Wie sieht das bei verketteten verketteten Funktionen aus?
Wird das ganze ein Produkt oder in diesem Fall eine Differenz?

01.06.2012, 19:48

Mystic

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RE: Verkettete verkettete Funktion ableiten
Mal kommt keines hin (wenngleich das jetzt nicht falsch wäre), wohl aber eine öffnende Klammer (natürlich hat die auch ihr Pendant am Ende des Ausdrucks!)...

P.S.: Ich habe übrigens keine Ahnung, was verkettete verkettete Funktionen sein sollen, denn eine Verkettung von Verkettungen liefert ja bloß wieder eine Verkettung... geschockt

01.06.2012, 19:55

blu3.Eye

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RE: Verkettete verkettete Funktion ableiten
Heißt das, wenn ich z.B. zwei Funktionen f1 und f2 habe, die verkettet sind, also ineinander:

ä.A.(f1) mal i.A(f1) mal ä.A.(f2) mal i.A.(f2)

ä.A. = äußere Ableitung
i.A. = innere Ableitung

Dann hätte ich doch was falsch gemacht verwirrt

01.06.2012, 20:05

Mystic

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RE: Verkettete verkettete Funktion ableiten
Du hast hier drei(!) Funktionen

$\begin{eqnarray*} f_1(x)=x^2, \quad f_2(x)=1+e^x, \quad f_3(x)=-x \end{eqnarray*}$

welche zu

$\begin{eqnarray*} f(x)=f_1(f_2(f_3(x))) \end{eqnarray*}$

verkettet sind... Die Ableitung ist dann

$\begin{eqnarray*} f'(x)= f'_1(f_2(f_3(x))) f'_2(f_3(x))f'_3(x) \end{eqnarray*}$

was hier dann auf obiges (und nach meiner obigen Berichtigung auch richtiges!) Ergebnis führt...

01.06.2012, 20:23

blu3.Eye

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RE: Verkettete verkettete Funktion ableiten
Okay, wäre das Ergebnis dann nicht aber:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2(1+e^{-x}) \cdot (-e^{-x}) \cdot (-1) = 2(1+e^{-x}) \cdot (e^{-x}) \end{eqnarray*}$

01.06.2012, 20:27

Mystic

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RE: Verkettete verkettete Funktion ableiten

Zitat:

Original von blu3.Eye
Okay, wäre das Ergebnis dann nicht aber:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2(1+e^{-x}) \cdot (-e^{-x}) \cdot (-1) = 2(1+e^{-x}) \cdot (e^{-x}) \end{eqnarray*}$

Nein, denn du hast $\begin{eqnarray*} f'_2(f_3(x)) \end{eqnarray*}$ nicht richtig gebildet... Mach das einfach mal konsequent, das kann ja jetzt nicht so furchtbar schwer sein... geschockt

01.06.2012, 20:38

blu3.Eye

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RE: Verkettete verkettete Funktion ableiten
Die Ableitung von f2 ist = $\begin{eqnarray*} -e^{-x} \end{eqnarray*}$
Und f3 ist -x

Also:
$\begin{eqnarray*} -e^{-x} \cdot (-x) \end{eqnarray*}$

??

01.06.2012, 20:44

Mystic

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RE: Verkettete verkettete Funktion ableiten
Oh Gott, oh Gott... geschockt

Aber geschieht mir recht, warum hab ich mich bloß in diesen Thread hineinverirrt... unglücklich

Also nocheinmal:

$\begin{eqnarray*} f_2(x)=1+e^x \end{eqnarray*}$

Daher ist

$\begin{eqnarray*} f'_2(x)=e^x \end{eqnarray*}$ (und nicht dein $\begin{eqnarray*} -e^x \end{eqnarray*}$ , denn wo in aller Welt soll denn das Minus herkommen???)

Weiter ist dann

$\begin{eqnarray*} f'_2(f_3(x))=e^{-x} \end{eqnarray*}$

Also dieser mittlere Term von den dreien hat bei dir das falsche Vorzeichen, die anderen zwei Faktoren stimmen aber...

Edit: Sehe übrigens gerade anhand von

Zitat:

Original von blu3.Eye
$\begin{eqnarray*} -e^{-x} \cdot (-x) \end{eqnarray*}$

dass du "Einsetzen" von -x für x mit einer Multiplikation verwechselst... Da fehlt es offenbar dann an ganz Grundlegendem...

01.06.2012, 20:59

Leopold

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RE: Verkettete verkettete Funktion ableiten

Zitat:

Original von blu3.Eye
Ich will diese Funktion ableiten:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (1+e^{-x})^2 \end{eqnarray*}$

@ Mystic

Da steht aber ein Minus.

01.06.2012, 21:13

Mystic

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RE: Verkettete verkettete Funktion ableiten

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von blu3.Eye
Ich will diese Funktion ableiten:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (1+e^{-x})^2 \end{eqnarray*}$

@ Mystic

Da steht aber ein Minus.

Ja, aber es geht ja hier um die Ableitung der "mittleren" Funktion $\begin{eqnarray*} f_2(x) \end{eqnarray*}$ und die lautet

$\begin{eqnarray*} f_2(x) =1+e^x \end{eqnarray*}$

also ohne ein "Minus"... Das Minus kommt dann erst durch $\begin{eqnarray*} f_3(x)=-x \end{eqnarray*}$ ins Spiel...

Ich hab das ja selbst nicht gern, wenn man etwas in alle Einzelheiten "aufdröselt", weil man dann - genauso wie du auch eben - leicht den Überblick verliert, aber er wollte es offenbar nicht anders (siehe auch Titel des Threads!)... Augenzwinkern

01.06.2012, 21:19

Leopold

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RE: Verkettete verkettete Funktion ableiten
Ich glaube, ihm war einfach nicht bewußt, daß er bei $\begin{eqnarray*} - \operatorname{e}^{-x} \end{eqnarray*}$ mit dem Minuszeichen vorne schon die innere Funktion nachdifferenziert hat, so daß das nachträgliche $\begin{eqnarray*} \cdot (-1) \end{eqnarray*}$ natürlich falsch ist. Die Sache war sozusagen schon erledigt.

Zitat:

Original von blu3.Eye
Okay, wäre das Ergebnis dann nicht aber:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2(1+e^{-x}) \cdot (-e^{-x}) \color{red} \cdot (-1) \color{black} = \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \color{red} \text{falsch} \end{eqnarray*}$

andere Beispiele:

$\begin{eqnarray*} g(x) = \operatorname{e}^{2x}: \ \ g'(x) = 2 \cdot \operatorname{e}^{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x) = \operatorname{e}^{x^3}: \ \ h'(x) = 3x^2 \cdot \operatorname{e}^{x^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x) = \operatorname{e}^{-x}: \ \ u'(x) = - \operatorname{e}^{-x} \end{eqnarray*}$

01.06.2012, 21:24

blu3.Eye

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RE: Verkettete verkettete Funktion ableiten
Wie wäre es, wenn du mir sagen würdest, wie es einfacher geht?
Auf das "in alle Einzelheiten" aufdröseln habe ich auch nicht unbedingt Lust Augenzwinkern

Und den Titel habe ich deshalb gewählt, weil es eine verkettete verkettete (nach neuem Stand sogar verkettete verkettete verkettete Funktion) ist. :P

01.06.2012, 21:26

blu3.Eye

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RE: Verkettete verkettete Funktion ableiten
@Leopold

Ich hatte dabei einfach

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= f'_1(f_2(f_3(x))) f'_2(f_3(x))f'_3(x) \end{eqnarray*}$

abgearbeitet.

Und ich dachte f3 wäre -x und somit die Ableitung gleich -1.

01.06.2012, 21:26

Mystic

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RE: Verkettete verkettete Funktion ableiten
@Leopold

Ja, die Verkettung von drei(!) Funktionen war offenbar zuviel für ihn, da er möglicherweise es bisher nur mit der Verkettung von 2 Funktionen zu tun hatte (ähnlich wie in deinen Beispielen)... Aber ich habe die Aufgabe ja auch nicht ausgesucht... Big Laugh

@blu3.Eye

Zitat:

Original von blu3.Eye
@Leopold

Ich hatte dabei einfach

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= f'_1(f_2(f_3(x))) f'_2(f_3(x))f'_3(x) \end{eqnarray*}$

abgearbeitet.

Und ich dachte f3 wäre -x und somit die Ableitung gleich -1.

Noch einmal:

Der erste Faktor $\begin{eqnarray*} f'_1(f_2(f_3(x)))=2(1+e^{-x}) \end{eqnarray*}$ war korrekt...
Der zweite Faktor wäre richtig $\begin{eqnarray*} f'_2(f_3(x))=e^{-x} \end{eqnarray*}$ (d.h. also ohne dein Minus vorne!)...
Der dritte Faktor $\begin{eqnarray*} f'_3(x)=-1 \end{eqnarray*}$ ist wieder korrekt...

01.06.2012, 21:46

Leopold

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RE: Verkettete verkettete Funktion ableiten

Zitat:

Original von blu3.Eye
@Leopold

Ich hatte dabei einfach

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= f'_1(f_2(f_3(x))) f'_2(f_3(x))f'_3(x) \end{eqnarray*}$

abgearbeitet.

Und ich dachte f3 wäre -x und somit die Ableitung gleich -1.

Das stimmt ja auch. Aber dann war eben dein $\begin{eqnarray*} f'_2(f_3(x)) \end{eqnarray*}$ nicht richtig. Dann ist dort das Minuszeichen falsch.

Ich empfehle das folgende Vorgehen: Man schreibt $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$ und für die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{\dd y}{\dd x} \end{eqnarray*}$ .
Beispiel: Statt $\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 \end{eqnarray*}$ schreibt man $\begin{eqnarray*} y = x^3 \end{eqnarray*}$ und statt $\begin{eqnarray*} f'(x) = 3x^2 \end{eqnarray*}$ schreibt man den Differentialquotienten $\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} = 3x^2 \end{eqnarray*}$

Wenn du diesen nicht kennst, mach dir nichts draus. Es ist kein richtiger Bruch, es sieht nur aus wie ein Bruch und bedeutet nichts anderes als Ableitung. Im "Zähler" steht die abhängige Variable der Funktion, im "Nenner" die unabhängige.

Die Kettenregel lautet formal dann so:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} = \frac{\dd y}{\dd u} \cdot \frac{\dd u}{\dd x} \end{eqnarray*}$

Oder bei einem weiteren Verkettungsglied:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} = \frac{\dd y}{\dd u} \cdot \frac{\dd u}{\dd t} \cdot \frac{\dd t}{\dd x} \end{eqnarray*}$

Die Namen der neuen Variablen können frei bestimmt werden. Jeder noch nicht vergebene Name ist möglich.
Die Formel sieht so aus, als könnte man über Kreuz kürzen. Ein richtiges Kürzen ist es natürlich nicht, denn es sind ja auch keine richtigen Brüche. Aber über die Kürzungsregel für Brüche kann man sich die Kettenregel eben leicht merken.

Und in der Praxis wendet man sie so an: Was einen ärgert, bekommt einen neuen Namen.

$\begin{eqnarray*} y = \left( 1 + \operatorname{e}^{-x} \right)^2 \end{eqnarray*}$

Hier ärgert die Klammer. Sie bekommt den neuen Namen $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ . Die Bedeutung des neuen Namens schreiben wir daneben:

$\begin{eqnarray*} y = u^2 \ \ \text{mit} \ \ u = 1 + \operatorname{e}^{-x} \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt beide Funktionen schon ableiten kann, dann ist's gut. Vielleicht macht aber einem das $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ noch zu schaffen. Dann führt man auch dafür einen neuen Namen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ein:

$\begin{eqnarray*} y = u^2 \ \ \text{mit} \ \ u = 1 + \operatorname{e}^t \ \ \text{mit} \ \ t = -x \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man alle drei Funktionen ableiten und erhält nach der Regel von oben:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} = \frac{\dd y}{\dd u} \cdot \frac{\dd u}{\dd t} \cdot \frac{\dd t}{\dd x} = 2u \cdot \operatorname{e}^t \cdot (-1) \end{eqnarray*}$

Jetzt muß man wieder resubstituieren, d.h. alles wieder durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ausdrücken:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} = 2 \cdot \left( 1 + \operatorname{e}^{-x} \right) \cdot \operatorname{e}^{-x} \cdot (-1) = -2 \left( 1 + \operatorname{e}^{-x} \right) \cdot \operatorname{e}^{-x} \end{eqnarray*}$

Vielleicht verstehst du jetzt, warum am Ende bei dir ein Minuszeichen zuviel war.

01.06.2012, 23:36

Mystic

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RE: Verkettete verkettete Funktion ableiten
@Leopold

Wow, da hast du dich aber mächtig ins Zeug gelegt... Freude

Bin schon gespannt, ob's auch was bringt... Ich glaub eigentlich immer mehr, dass es einfach mit der Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-x} \end{eqnarray*}$ zusammenhängt, welche er vermutlich bisher rein mechanisch gemacht hat, ohne zu begreifen, wie das wirklich funktioniert, nämlich mit der Verkettung der beiden Funktionen $\begin{eqnarray*} g(x)=e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x)=-x \end{eqnarray*}$ ... Augenzwinkern

Edit: Ich halte es auch für möglich, dass er das Prinzip der Verkettung selbst nicht kapiert hat... Ein starkes Indiz in dieser Richtung ist - noch einmal - die Wortmeldung

Zitat:

Original von blu3.Eye
Die Ableitung von f2 ist = $\begin{eqnarray*} -e^{-x} \end{eqnarray*}$
Und f3 ist -x

Also:
$\begin{eqnarray*} -e^{-x} \cdot (-x) \end{eqnarray*}$

??

wo (abgesehen von der falschen Ableitung von f2) dann mit f3 "multipliziert" statt f3 "eingesetzt" wird...

13.06.2012, 19:01

Mystic

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RE: Verkettete verkettete Funktion ableiten
Ja, nach mehr als 10 Tagen, wo sich der Fragesteller nicht mehr gemeldet hat, kann man nun wohl endgültig davon ausgehen, dass alle Bemühungen hier doch noch einen Durchbruch zu erreichen als gescheitert angesehen werden müssen... unglücklich

Was mich betrifft, bin ich allerdings fast erleichtert, denn auch wenn alles dagegen spricht, bleibt am Ende doch noch ein letzter Rest von Ungewissheit, ob es nicht vielleicht doch eine Möglichkeit gegeben hätte, das Ganze besser rüber zu bringen... Da nun auch Leopold sein Bestes gegeben hat, ohne dass der Fragesteller darauf auch nur in irgendeiner Weise reagiert hätte, fällt diese Möglichkeit nun wohl auch weg... Wink

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