Erzeugende Funktion bestimmen

02.06.2012, 00:10

wdposchmann

Erzeugende Funktion bestimmen

Hi,

ich soll von der Zähldichte f(k) die erzeugende Funktion bestimmen (Thema Zähldichte würde eher zum Thema Stochastik passen, die Berechnung ist jedoch eine reine Analysis-Sache). Also es ist

$\begin{eqnarray*} f(k) = \frac{1}{k(k+1)} \mbox{ mit } k \geq 1 \end{eqnarray*}$

Die erzeugende Funktion ist nun definiert als

$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}(z) = \sum_{k=0}^{\infty}f(k)z^k \mbox{ wobei } |z|\leq 1 \end{eqnarray*}$

Demnach ist hier der Ansatz

$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}(z) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^k}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$

Durch Partialbruchzerlegung komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}(z) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^k}{k} - \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^k}{k+1} = ln(z) - \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^k}{k+1} \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten Reihe hänge ich jetzt aber irgendwie und komme auf nichts brauchbares. Hoffe, jemand hat nen Tipp für mich!

Danke schon mal,

Gruß

02.06.2012, 01:29

Dustin

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo wdposchmann,

probier's doch mal mit einer Indexverschiebung
$\begin{eqnarray*} k'=k+1 \end{eqnarray*}$
smile

Und Vorsicht:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^k}{k} \neq ln(z) \end{eqnarray*}$

Schlag das nochmal genau nach!

Viele Grüße, Dustin

02.06.2012, 02:19

wdposchmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Dustin,

vielen Dank für deine Antwort. Also ich hab noch mal nachgesehen und denke jetzt eher, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^k}{k} = -ln(1-z) \end{eqnarray*}$ . Stimmt das?

Ich habe dann dank deines Tipps so weiter gemacht:

$\begin{eqnarray*} -ln(1-z) - \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^k}{k+1} = -ln(1-z) - \sum_{k=2}^{\infty}\frac{z^{k-1}}{k} = -ln(1-z) - \left( \frac{1}{z} \cdot \sum_{k=2}^{\infty}\frac{z^{k}}{k} \right) = -ln(1-z) - \left( \frac{1}{z} \cdot \left( \left( \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k}\right) - z - \frac{z^2}{2} \right) \right) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -ln(1-z) - \left( \frac{1}{z} \cdot \left( -ln(1-z) - z - \frac{z^2}{2} \right) \right) = -ln(1-z) - \left( \frac{-ln(1-z)}{z} - 1 - \frac{z}{2} \right) = -ln(1-z) - \frac{-ln(1-z)}{z} + 1 + \frac{z}{2} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit korrekt?

Gruß

02.06.2012, 03:33

Dustin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

vielen Dank für deine Antwort. Also ich hab noch mal nachgesehen und denke jetzt eher, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^k}{k} = -ln(1-z) \end{eqnarray*}$ . Stimmt das?

$\begin{eqnarray*} -ln(1-z) - \left( \frac{1}{z} \cdot \sum_{k=2}^{\infty}\frac{z^{k}}{k} \right) = -ln(1-z) - \left( \frac{1}{z} \cdot \left( \left( \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k}\right) - z - \frac{z^2}{2} \right) \right) \end{eqnarray*}$

Diesen Schritt musst du dir nochmal genauer überlegen. Da stimmen zwei Dinge nicht. Ansonsten sieht das alles gut aus!

02.06.2012, 07:33

wdposchmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, es muss natürlich

$\begin{eqnarray*} -ln(1-z) - \left( \frac{1}{z} \cdot \sum_{k=2}^{\infty}\frac{z^{k}}{k} \right) = -ln(1-z) - \left( \frac{1}{z} \cdot \left( \left( \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k}\right) - z\right) \right) \end{eqnarray*}$

heißen. smile

Und wenn ich dann alles durchrechne, komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{[ln(1-z)] \cdot (1-z)}{z}+1 \end{eqnarray*}$ und das ist genau das, was wir als Zwischenergebnis angegeben bekommen haben.

Vielen Dank dir!

Grüße

02.06.2012, 14:39

Dustin

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen und schönes Wochenende! smile

Neue Frage »

Antworten »

Erzeugende Funktion bestimmen

Verwandte Themen