Kubische splines, minimale Krümmung |
| 02.06.2012, 00:46 | MarKeMath | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Kubische splines, minimale Krümmung Kubische Splines zu bestimmen ist nicht zuletzt mit Hilfe eines CAS, wie wir es in der Schule verwenden, eigentlich kein Problem. Man liest an verschiedenen Stellen, dass die natürlichen Splines ("freier Rand"), bei denen als Randbedingung gefordert wird, dass die 2. Ableitung an den Randpunkten null ist, minimale Krümmung aufweisen. Mir ist diese Aussage nicht präzise genug und ich habe gewisse Zweifel an ihrer Richtigkeit, wobei ich das nur für ein Bespiel genauer untersucht habe. Dazu gleich mehr. Zunächst zur Krümmung. Die kann man für den Graphen einer Funktion f(x) mit folgender Formel berechnen: Habe ich die Funktion f im Intervall [a,b] definiert, dann sollte doch eine sinnvolle Größe für die Gesamtkrümmung sein. Korrigiert mich bitte, wenn es andere übliche Definitionen gibt. Als Beispiel habe ich drei kubische Splines zu vier Stützstellen (x1,y1) ... (x4,y4) und freiem Rand bestimmt und im Interval [x1,x4] die Gesamtkrümmung bestimmt. (Konkret, falls es jemand nachrechnen möchte: Für (-2,2), (-1,1), (1,1), (2,3) gegeben ist die Gesamtkrümmung der stückweise def. Fkt. f auf [-2,2] rund 1.346864 , siehe Screenshot.) Nun habe ich alternativ die Randbedingungen geändert ("eingespannter Rand") und durch einfaches Probieren drei Splines gefunden, deren Gesamtkrümmung deutlich geringer ist als für den freien Rand. (Statt den Anstieg in den Randpunkten vorzugeben habe ich zwei weitere Punkte links und rechts vorgegeben, das sollte vergleichbar sein.) Natürlich habe ich auch mal die Stützstellen geändert, aber es scheint im Prinzip immer möglich zu sein, eine Interpolation zu finden, die gegenüber dem natürlichen Spline geringere Gesamtkrümmung aufweist. Was meint ihr dazu? |
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| 02.06.2012, 01:59 | MarKeMath | Auf diesen Beitrag antworten » |
nur noch mal zur Verdeutlichung meines Anliegens: Auf der Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm behauptet bzw. definiert der Autor: "Ein kubischer Spline ist eine glatte Kurve, die durch gegebene Punkte im Koordinatensystem geht und eine minimale Gesamtkrümmung aufweist. " Erbezieht sich nachfolgend vor allemauf die natürlichen Splines mit Krümmung null an den Randpunkten. Ähnliche Aussagen findet man auch in anderen Quellen. Ich bezweifle jedoch, dass die sog. natürlichen Splines minimale Gesamtkrümmung aufweisen. Ich vermute, dass die Bestimmung des kubischer Splines der von allen kubischen Splines, die durch die geg. Punkte verlaufen die minimale Gesamtkrümmung aufweist (definiert wie oben - oder doch anders?) eine sehr viel schwerere Aufgabe ist als die üblicherweise behandelten. Ich ergänze daher noch folgende Frage: Worauf gründet die Beahuptung der minimalen Gesamtkrümmung natürlicher Splines? Gibt es evtl. eine andere Eigenschaft, die damit gemeint sein könnte? |
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| 03.06.2012, 16:29 | MarKeMath | Auf diesen Beitrag antworten » |
Keine Meinungen zu diesem Thema? Ich hatte den Eindruck, dass kubische Splines hier teilweise wie ein Steckenpferd einzelner Mitglieder behandelt wurden - da hatte ich auf etwas mehr Resonanz gehofft. |
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