Gauß Summe und Möbiusfunktion

02.06.2012, 09:34	eamon	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß Summe und Möbiusfunktion Hallo zusammen. Wir haben vor kurzem die Gauß-Summe oder Gaußsche Summe definiert: $\begin{eqnarray} \text{Sei } p \in \mathbb{P} \text{. Dann ist } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G(n) = \sum_{k=1}^{p-1} \left( \frac k p \right) e^{\frac{2\pi i }{p} n k } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{die Gauß Summe, wobei }\left( \frac k p \right)\text{ das Legendre-Symbol ist.} \end{eqnarray}$ Jetzt soll dieser Zusammenhang gezeigt werden: $\begin{eqnarray} \text{Für } n \in \mathbb{Z} \text{ gilt: } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G(n) = \left( \frac n p \right) G(1) \end{eqnarray}$ Ich hatte die Vermutung, dass man dies relativ einfach über die Möbiussche Umkehrformel zeigen kann, die Möbiusfunktion hatten wir wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} <br /> \text{Sei } n = p_1^{r_1}\ldots p_s^{r_s},\forall i \, \left(i \in \{1, \ldots , s\} \Rightarrow p_i \in \mathbb{P}\land r_i \in \mathbb{N}\right) \text{die Primfaktorzerlegung. Dann ist} \\<br /> \mu \colon \mathbb{N} \rightarrow \lbrace -1,0,1\rbrace , n \mapsto \begin{cases} 1 , & \text{wenn }n = 1<br /> \left(-1\right)^r , & \text{wenn } \forall i\,\left(i \in \{1, \ldots , s\}\Rightarrow r_i = 1 \right)<br /> 0, & \text{wenn } \exists i\, \left( i \in \{1, \ldots, s\} \land r_i = 2\right) <br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{die Möbiusfunktion} \end{eqnarray}$ Das ist die Möbiussche Umkehrformel: $\begin{eqnarray} \text{ Für alle }n\in\mathbb N \text{ gilt:} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> 1\left.\right) f\colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}, F(n) : = \sum_{\left.d\right\|n} f(d) \Rightarrow f(n) = \sum_{\left.d\right\|n} \mu(d)F\left(\frac n d \right)<br /> 2\left.\right) F\colon \mathbb N \rightarrow \mathbb C, f(n) : = \sum_{\left.d\right\|n} \mu(d)F\left(\frac n d \right) \Rightarrow F(n) = \sum_{\left.d\right\|n} f(d) \end{eqnarray}$ Mein Problem ist, dass die Summe in der Umkehrformel über alle positiven Teiler von n läuft, aber die Gaußsumme im Summenzeichen gar nicht von n abhängt. Auch habe ich versucht das Problem ohne die Möbiussche Umkehrformel zu lösen, durch vollständige Induktion über n. Allerdings ist die Behauptung auch nicht so weiteres für n + 1 zu beweisen, da das Legendre-Symbol additiv nicht wirklich gut zusammenzufassen ist. Hat irgendjemand einen Ansatz?

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