Beweis für Reihe

02.06.2012, 14:24

Mathe200

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Beweis für Reihe

Hi,

brauche Hilfe bei dieser Aufgabe.

Ich soll zeigen das

$\begin{eqnarray*} q\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ \{1}

hierfür gilt:

$\begin{eqnarray*} 1+q+q^2+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Idee:

Ich würde einfach 3 Fälle testen

02.06.2012, 14:27

Iorek

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Was für 3 Fälle denn? verwirrt

verwirrt

Die geometrische Summenformel beweist man in der Regel per vollständiger Induktion.

02.06.2012, 14:34

Mathe200

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Fall 1: q=1

Dann sieht man das es nicht funktioniert da irgendwas durch 0 nicht geht.

Fall2: q<1

Fall3: q>1

War auch nur ne Idee Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also muss ich das wohl oder übel mit vollständiger Induktion meistern

(muss mir mal anschauen wie das geht unglücklich

unglücklich

)

02.06.2012, 15:11

Mystic

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Zitat:

Original von Mathe200
Also muss ich das wohl oder übel mit vollständiger Induktion meistern

Musst du nicht... Es geht auch so:

$\begin{eqnarray*} s=\ \,1+q+q^2+\ldots+q^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sq=\quad+q+q^2+\ldots+q^n+q^{n+1} \end{eqnarray*}$

Nun einfach die Differenz dder beiden Gleichungen bilden und aus der entstehenden Gleichung dann s berechnen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.06.2012, 16:21

Mathe200

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So den Induktionsanfang habe ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty q^n =\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$

Linke Seite gleich rechter Seite:

$\begin{eqnarray*} 1=1 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig ?

02.06.2012, 16:37

Mystic

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Ja, ein Anfang, äh, ich meine ein Induktionsanfang ist gemacht... Freude

Freude

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02.06.2012, 16:56

Iorek

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Dem mag ich nicht ganz zustimmen, die Summenindizes stimmen nicht...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits^{n}_{k=0}\color{black} q^k = \frac {1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$ wäre besser.

02.06.2012, 17:01

Mystic

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Mein Gott ja, ich wusste nicht, dass du auf solchen "Kleinigkeiten" herumreitest... Big Laugh

Big Laugh

02.06.2012, 17:24

Mathe200

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits^{n}_{k=0}\color{black} q^k = \frac {1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Ich habe mir nur gerade die Frage gestellt:

Das q bleibt bei der ganzen Sache konstant soll aber untersucht werden.

Funktioniert das ?^^

02.06.2012, 17:47

Iorek

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Natürlich funktioniert das. $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ist eine beliebige reelle Zahl außer 1, unter dieser Annahme wird die Gleichheit also für alle diese $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ gezeigt.

02.06.2012, 18:23

Mathe200

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Ok

Stimmt das so ?

Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} n\Rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

Linke Seite

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} q^k = \sum\limits_{k=0}^{n}q^k+q^{n+1} \end{eqnarray*}$

Rechte Seite:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Induktionsvoraussetzung einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Überprüfen ob es stimmt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+1}*(1-q)}{1-q}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n}*q*(1-q)}{1-q}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+1}+q^n*q-q^n-q^2}{1-q}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^n-q^2}{1-q}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^n-q^2}{1-q}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^n*(-q)*(-q)}{1-q}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^n*(-q)*(-q)}{1-q}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1+q^{n+1}*(-q)}{1-q}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+2}}{1-q}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

02.06.2012, 23:37

Iorek

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$\begin{eqnarray*} \frac {1-q^{n+1}}{1-q}=\frac {1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$ ist natürlich nicht richtig, warum sollte es das auch sein? Das wird auch nirgendwo behauptet. Was du dann bei der Überprüfung machst, erschließt sich mir nicht, das sind für mich wirre Umformungen die keinen wirklichen Zusammenhang haben.

Fasse nachdem du die IV angewendet hast alles auf einem Bruch zusammen, also gleichnamig machen etc., dann hast du eigentlich schon alles da stehen.

02.06.2012, 23:45

Mathe200

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Achso bei $\begin{eqnarray*} \frac {1-q^{n+1}}{1-q}=\frac {1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$ habe ich n+1 gemacht ist das falsch ?

02.06.2012, 23:48

Iorek

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Die Gleichung ist falsch, setz doch für q und n mal ein paar Zahlen ein. Du machst im Induktionsschritt den Übergang von n nach n+1, da kommt aber nirgendwo diese Gleichung drin vor.

03.06.2012, 01:50

Mathe200

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Ich hoffe es stimmt jetzt .

Bin jetzt alles nochmal Schritt für Schritt durchgegangen.

(Ohne Induktionsanfang der war ja richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Induktionannahme:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} q^k=\frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Induktionsbeweis:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} q^k+q^{n+1} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1} \end{eqnarray*}$ vergleichen mit der
Induktionsbehauptung $\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1} =\frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+1}+q^{n+1}*(1-q)}{1-q} =\frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+1}+q^{n+1}-q*q^{n+1}}{1-q} =\frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q*q^{n+1}}{1-q} =\frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+2}}{1-q} =\frac{1-q^{n+2}}{1-q} \end{eqnarray*}$

03.06.2012, 10:54

Iorek

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Jetzt siehts soweit gut aus, wobei ich eine andere Schreibweise bevorzuge (ich fang mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} q^k \end{eqnarray*}$ an und form dann als Gleichungskette um bis ich zu $\begin{eqnarray*} \frac {1-q^{(n+1)+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$ komme, beide Wege sind aber korrekt).

03.06.2012, 13:04

Mathe200

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Danke

smile

Wie funktioniert der Weg von Mystic ?

Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von Mathe200
Also muss ich das wohl oder übel mit vollständiger Induktion meistern

Musst du nicht... Es geht auch so:

$\begin{eqnarray*} s=\ \,1+q+q^2+\ldots+q^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sq=\quad+q+q^2+\ldots+q^n+q^{n+1} \end{eqnarray*}$

Nun einfach die Differenz dder beiden Gleichungen bilden und aus der entstehenden Gleichung dann s berechnen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was ist sq ?

Kann ich die 2te Gleichung einfach durch q teilen und in die erste einsetzen ?

03.06.2012, 13:47

Mystic

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Zitat:

Original von Mathe200
Was ist sq ?

sq ist das Produkt von s und q... Schau mal auf deinem TR nach, da müsste eine Taste mit dem *-Symbol (oder ähnlich) sein, damit kannst du dieses Produkt für konkrete Werte von s und q dann leicht berechnen... Lehrer

Lehrer

Zitat:

Original von Mathe200
Kann ich die 2te Gleichung einfach durch q teilen und in die erste einsetzen ?

Sorry, da verstehe ich nicht, was du meinst... Hatte ich den weiteren Weg nicht klar vorgegeben? verwirrt

verwirrt

03.06.2012, 14:39

Mathe200

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So ein * hat mein TR nicht.

Die Differenz der beiden Gleichungen :

$\begin{eqnarray*} 1+q^{n+1} \end{eqnarray*}$

03.06.2012, 14:41

Mathe200

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$\begin{eqnarray*} 1-q^{n+1} \end{eqnarray*}$

03.06.2012, 15:47

Mystic

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Ja, aber das musst auch für die linken Seiten der Gleichungen machen und die Ergebnisse dann gleichsetzen...

P.S.: Was hat denn dein TR dann für ein Symbol für die Multiplikation?

03.06.2012, 18:07

Mathe200

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(Auf meinem TR ist ein x)

Wie bist du auf diesen Lösungsansatz gekommen ?

$\begin{eqnarray*} s=\ \,1+q+q^2+\ldots+q^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sq=\quad+q+q^2+\ldots+q^n+q^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s-sq=1-q^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s*(1-q)=1-q^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s=\frac{1-q^{n-1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Stimmt so oder ? smile

smile

03.06.2012, 18:23

Mathe200

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$\begin{eqnarray*} s=\frac{1-q^{n-1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Stimmt irgendwie doch nicht unglücklich

unglücklich

Müsste aber so heißen:

$\begin{eqnarray*} s=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

03.06.2012, 18:27

Mystic

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Zitat:

Original von Mathe200
$\begin{eqnarray*} s=\ \,1+q+q^2+\ldots+q^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sq=\quad+q+q^2+\ldots+q^n+q^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s-sq=1-q^{n-1} \end{eqnarray*}$

Diese Differenz stimmt auf der rechten Seite nicht... unglücklich

unglücklich

03.06.2012, 18:30

Mathe200

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Hammer

$\begin{eqnarray*} s-sq=1- q^{n+1} \end{eqnarray*}$

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