Operatornorm ||L|| ?

02.06.2012, 15:00

Teilmengenmännchen

Operatornorm ||L|| ?

Meine Frage:
Hi,
ich hab immer noch ein paar Probleme mit dieser blöden Operatornorm ;D

Meine Ideen:

also die Operatornorm bezeichnet doch den Vektor "a" mit ||a||>0 so dass $\begin{eqnarray*} \frac{||L*a||}{||a||} \end{eqnarray*}$ am größten wird. L bezeichnet hier die Abb.Matrix einer linearen Abb. von R2->R2. ?? ist das so ok?

z.B. hab ich diese Matrix L:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
dann kommen ja nur die Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ infrage.

für $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{||L*a||}{||a||} \end{eqnarray*}$ = sqrt(5/2) (ich hab hier die Euklidische Norm genommen)

für $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{||L*a||}{||a||} \end{eqnarray*}$ = sqrt(2) also kleiner

und für $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{||L*a||}{||a||} \end{eqnarray*}$ = 1 also noch kleiner

damit ist dann (1,1) der gesuchte Vektor der Operatornorm für dieses L ?????

kann ich immer die Euklidische-Norm benutzen oder hängt das von der Dimension von L ab?? also bei R3->R3 z.B???

Viele Grüße ;D

02.06.2012, 16:46

sergej88

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RE: Operatornorm ||L|| ?

Zitat:

Original von Teilmengenmännchen
also die Operatornorm bezeichnet doch den Vektor "a" mit ||a||>0 so dass $\begin{eqnarray*} \frac{||L*a||}{||a||} \end{eqnarray*}$ am größten wird.

nein, die Operatornorm ist, wie der Name es schon sagt, eine Norm. Entsprechend sollte das Ergebnis eine Zahl sein. Genauer zum Beispiel
Für eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} L: X \longrightarrow Y \end{eqnarray*}$ ist die Operatornorm definiert durch
$\begin{eqnarray*} \Vert L \Vert = \underset{x \neq 0}{\sup}\ \frac{\Vert Lx\Vert_Y}{\Vert x \Vert_X} \end{eqnarray*}$

Im endlichdimensionalen wird dieses Supremum immer angenommen, es ist also ein Maximum. Das bedeutet es gibt einen Vektor $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Vert L \Vert = \frac{\Vert Lx\Vert_Y}{\Vert x \Vert_X} \end{eqnarray*}$ .
Soviel zum allgemeinen.

[quote]Original von Teilmengenmännchen
kann ich immer die Euklidische-Norm benutzen oder hängt das von der Dimension von L ab?? also bei R3->R3 z.B???
[/latex]
Die Operatornorm ist abhängig von der Wahl der Normen! Ist nichts weiteres gesagt, so nimmt man die "Standardnormen", auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ wäre dieses die euklidische Norm.

Hierbei gibt es auch einen Zusammenhang zu den Eigenwerten der Matrix, welchen du zum Beispiel
http://de.wikipedia.org/wiki/Spektralnorm
hier nachlesen kannst. In deinem Skript sollte aber sicher auch was zu finden sein.

Zu deiner Rechnung. Für den zweiten Vektor hast du falsch gerechnet. Rechne nochmal nach, da kommt 2 raus, welches gerade die Operatornorm ist.

mfg

03.06.2012, 20:12

Teilmengenmännchen

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stimmt das ist echt 2 bei (0,1) aber dann ist doch der Vektor das gesuchte Element, da dieser die Bedingung erfüllt (sup ...) oder etwa nicht? oder einfach die 2? Was sagt mir diese 2? kann man daraus irgendwelche Eigenschaften ableiten?

Spektralnorm hatten wir noch nicht aber das scheint ja das gleiche zu sein auf dem endlich dimensionalen, wenn ich der Artikel richtig verstanden habe (also da ja sup = max ist wenn endlich)

Vielen Dank für deine Antwort ;D

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