zweite partielle Ableitung

02.06.2012, 18:45

pusteblume-88

zweite partielle Ableitung

Hallo,

ich habe eine Funktion von 2 veränderlichen und soll die 2. Ableitung berechnen.

die funktion sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray*} f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2f}{\partial y\partial x}(0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}(0,0) \end{eqnarray*}$ !

heißt das nun, ich soll die 2. Ableitung im Punkt (0,0) berechnen? Aber das ist doch 0?

Wäre das außerhalb des Nullpunktes, dann wäre mir der Sinn hinter dieser Aufgabe auch klar. In der VL hatten wir nämlich geschaut, ob die Ergebnisse gleich sind, wenn ich erst nach y und dann nach x oder andersherum ableite.

Aber so finde ich in der Aufgabe keinen Sinn. Kann mir jemand helfen?

05.06.2012, 23:37

pusteblume-88

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RE: zweite partielle Ableitung
warum hat denn keiner ne Idee?

In der Uni lief heute das Gerücjt rum, dass die Ableitung in 0 doch gar nicht 0 ist, aber wie soll das denn gehen? Wie kann ich denn aus ner 0 etwas anderes zaubern?

05.06.2012, 23:42

MarKeMath

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die Ableitung einer Funktion an einer Stelle wird doch nicht vom Funktionswert an dieser Stelle sondern vom Verhalten in der Umgebung der Stelle bestimmt. Das kannst du dir auch noch mal für eine Fkt. mit nur einer Veränderlichen klar machen.

06.06.2012, 00:28

pusteblume-88

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mhm, aber die Funktion ist doch in (0.0) schon unstetig und besitzt keinen GW, da versteh ich nicht so ganz, wie die dann überhapt noch ne ableitung haben kann.

Ich dachte, für diffbarkeit wird stetigkeit vorrausgesetzt?!

gib doch mal ein Besipsiel für eine Variable. Die Betragsfunktion vlt? die ist doch auch überall stetig, außer in 0 und besitzt dort keinen Grenzwert. Die Ableitung existiert dort doch auch nicht

06.06.2012, 00:41

chris95

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Die Funktion ist an der Stelle (0,0) schon stetig. Das kann man relativ einfach zeigen, indem geschickt abschaetz.

Dann wuerde ich einfach $\begin{eqnarray*} \frac{xy^2}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ 2 mal ableiten und dann gucken, ob der Limes gegen (0,0), eindeutig ist.

06.06.2012, 01:16

BanachraumK_5

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Die Funktion ist nicht differenzierbar.

Berechne doch mal die partiellen Ableitung und schau die an ob diese stetig sind?!

, weil $\begin{eqnarray*} \partial_y f \end{eqnarray*}$ unstetig ist. DIFFERENZIERBARKEITSKRITERium.

Nutz doch einfach mal die Formeln und berechne die partiellen Ableitungen per hand.

Dies ist eine gute Übung.

06.06.2012, 14:11

Huggy

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Zitat:

Original von BanachraumK_5
Berechne doch mal die partiellen Ableitung und schau die an ob diese stetig sind?!

, weil $\begin{eqnarray*} \partial_y f \end{eqnarray*}$ unstetig ist. DIFFERENZIERBARKEITSKRITERium.

Das besagt gar nichts! Wir haben ja eine Funktion von 2 Variablen. Wenn $\begin{eqnarray*} f_y(x,y) \end{eqnarray*}$ in (0,0) unstetig ist, so kann $\begin{eqnarray*} f_y(x,0) \end{eqnarray*}$ als Funktion von jetzt x allein trotzdem stetig sein und es kann $\begin{eqnarray*} f_{yx}(0,0) \end{eqnarray*}$ existieren.

@ pusteblume-88
Wenn du $\begin{eqnarray*} f_{xy}(0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{yx}(0,0) \end{eqnarray*}$ berechnen sollst, muss du erst mal $\begin{eqnarray*} f_x(x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_y(x,y) \end{eqnarray*}$ berechnen und zwar außerhalb (0, 0) und in (0,0). Außerhalb von (0,0) kannst du das formelmäßig erledigen, z. B.

$\begin{eqnarray*} f_x((x,y) \neq (0,0))=\frac {\partial}{\partial x} \frac {xy^2}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

In (0, 0) musst du mit der Definition der Ableitung arbeiten:

$\begin{eqnarray*} f_x(0,0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0} \end{eqnarray*}$

Analog für $\begin{eqnarray*} f_y \end{eqnarray*}$ . Nachdem du das erledigst hast, kannst du jetzt mit der Definition der Ableitung $\begin{eqnarray*} f_{xy}(0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{yx}(0,0) \end{eqnarray*}$ bestimmen, z.B.

$\begin{eqnarray*} f_{yx}(0,0)=\lim_{x \to 0} \frac {f_y(x,0)-f_y(0,0)}{x-0} \end{eqnarray*}$

06.06.2012, 15:21

BanachraumK_5

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Zitat:

Ich dachte, für diffbarkeit wird stetigkeit vorrausgesetzt?!

Willst du die Funktion auf Differenzierbarkeit überprüfen oder die partiellen Ableitungen ausrechnen?

Die Funktion ist wg.

$\begin{eqnarray*} f(\nu_1,\nu_2) - f(0,0) - L(\nu_1,\nu_2) = _+^-\frac{\sup \Vert(\nu_1,\nu_2) \Vert}{2},\ (\nu_1,\nu_2) \not= 0, \end{eqnarray*}$

nicht stetig differenzierbar.

Zitat:

gib doch mal ein Besipsiel für eine Variable. Die Betragsfunktion vlt? die ist doch auch überall stetig, außer in 0 und besitzt dort keinen Grenzwert.

$\begin{eqnarray*} f(x) = x, \end{eqnarray*}$ für positives x und $\begin{eqnarray*} -f(x) \end{eqnarray*}$ für negatives x oder 0.

$\begin{eqnarray*} \frac{-x}{x} \longrightarrow -1, x \uparrow 0 \end{eqnarray*}$

Und der positive Bruch hat einen pos. Grenzwert. (Was auch auf Wikipedia steht) Wink

Aber wieso soll denn die Betragsfunktion unstetig sein?

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