Maßtheorie: Maßfortsetzung ist äußeres Maß

02.06.2012, 21:10

martha.1981

Maßtheorie: Maßfortsetzung ist äußeres Maß

Hallo,

ich schaue mir gerade die Maßfortsetzung etwas genauer an. Ich weiß nicht wie man sie evtl. noch einführt, bei uns gilt jedenfalls:

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ sei ein Inhalt, $\begin{eqnarray*} A\subset X \end{eqnarray*}$ eine beliebige Menge. Man betrachte $\begin{eqnarray*} U_A=\{(A_n)_n | A\subset \cup_n A_n\} \end{eqnarray*}$

und dann das $\begin{eqnarray*} \lambda^* (A) := \inf \{\sum_n\lambda(A_n) | (A_n)_n\in U_A\} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist jetzt, wenn R ein Ring über X ist und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ein sigma-additive Inhalt auf R, dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda^* \end{eqnarray*}$ ein äußeres Maß.

Bis auf die Subadditivität $\begin{eqnarray*} \lambda^*(\bigcup_n A_n) \leq \sum_n \lambda^*(A_n) \end{eqnarray*}$ konnt ich die Eigenschaften nachprüfen.

Im Skript stehen sogar ein paar Tipps:

Zitat:

Falls alle $\begin{eqnarray*} \lambda(A_n)<\infty \end{eqnarray*}$ dann gibt es $\begin{eqnarray*} (A_{nm})_{m\in\mathbb{N}}\in U_{A_n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum_m \lambda(A_{nm})<\lambda^*(A_n)+\varepsilon 2^{-n} \end{eqnarray*}$

Trick: schreibe $\begin{eqnarray*} A_{nm} \end{eqnarray*}$ als Folge $\begin{eqnarray*} (C_k)_{k\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ wie beim Abzählen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und nutze $\begin{eqnarray*} (C_k)\in U_A \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nichts von den Tricks. Wäre nett, wenn mir jemand ein paar Denkanstöße geben kann.

Grüße,

m

03.06.2012, 23:40

martha.1981

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat keiner eine Idee?

04.06.2012, 01:28

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Tipp ist so gemeint:
1.Jede Summe $\begin{eqnarray*} \sum_n \lambda(B_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \bigcup_n A_n\subseteq \bigcup_n B_n \end{eqnarray*}$ ist definitionsgemäß größer oder gleich $\begin{eqnarray*} \lambda^{*}(\bigcup_n A_n) \end{eqnarray*}$
2. Es wird nun gezeigt, dass für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ die rechte Seite $\begin{eqnarray*} \sum_n \lambda^{*}(A_n) \end{eqnarray*}$ größer oder gleich einer solchen Summe minus Epsilon ist. Das genügt dann, um die Behauptung zu beweisen.
3. Diese abzählbar vielen $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ werden definiert als die Mengen $\begin{eqnarray*} A_{n,m} \end{eqnarray*}$ , die sich ergeben, wenn man für jedes n die Definition von $\begin{eqnarray*} \lambda^{*}(A_n) \end{eqnarray*}$ als Infimum nutzt, um solche Mengen zu finden mit $\begin{eqnarray*} A_n\subseteq \bigcup_{m}A_{n,m} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{m}\lambda(A_{n,m}) \leq \lambda^{*}(A_n)+\frac{\varepsilon}{2^n} \end{eqnarray*}$
Der Trick mit dem $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ zeigt sich daran, dass man beim Summieren nach n dann eine Abschätzung der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{n}\sum_{m} \lambda(A_{n,m})\leq \sum_{n} \lambda^{*}(A_n) +\varepsilon \end{eqnarray*}$ erhält, also genau das Gewünschte.
(wobei man technisch gesehen die Nummerierung der $\begin{eqnarray*} A_{n,m} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} B_{n} \end{eqnarray*}$ ändern muss, und ausnutzt, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}\times\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ eben auch abzählbar ist, aber das ist nichts Schwieriges.)

Neue Frage »

Antworten »

Maßtheorie: Maßfortsetzung ist äußeres Maß

Verwandte Themen