X Werte für Kovergenz finden

02.06.2012, 23:38

Mathe200

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X Werte für Kovergenz finden

Hi,

kann diese Aufgabe nicht lösen unglücklich

unglücklich

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Aufgabe:

Bekannt ist das die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Für welche Werte von $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert dann die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty 3^kx^{3k-1} \end{eqnarray*}$

und welcher Wert ergibt sich im Konvergenzfall in Abhängigkeit von x ?

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Außerdem versteh ich nicht für was ich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ brauche, wenn man bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty 3^kx^{3k-1} \end{eqnarray*}$ einfach den Konvergenzradius und somit alle Reellen Zahlen für diese Reihe bestimmen kann. verwirrt

verwirrt

02.06.2012, 23:43

Iorek

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Verwende die Potenzgesetze um $\begin{eqnarray*} 3^kx^{3k-1} \end{eqnarray*}$ umzuformen und zusammenzufassen, dann lässt sich die Bestimmung des Konvergenzradius direkt auf die geometrische Reihe zurückführen und man spart sich viel Rechenarbeit.

03.06.2012, 13:13

Mathe200

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Das mit dem zusammenzufassen ist mir nicht so ganz gelungen.

$\begin{eqnarray*} 3^k*x^{3k-1}=3^k*x^{3k}*\frac{1}{x}=3^k*x^k*x^k*x^k*\frac{1}{x}=\frac{(3*x^3)^k}{x} \end{eqnarray*}$

Bin mir aber nicht ganz sicher ob das so stimmt $\begin{eqnarray*} x^{3k-1}=x^{3k}*\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

03.06.2012, 13:26

Iorek

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Das ist soweit in Ordnung, jetzt kannst du dir mal ansehen, ob man aus der Reihe nicht etwas herausziehen kann, weil es unabhängig vom Summantionsindex $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist und dann die Eigenschaft der geometrischen Reihe verwenden.

03.06.2012, 14:33

Mathe200

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(3*x^3)^k}{x}=\frac{1}{x}* \sum\limits_{k=1}^\infty (3*x^3)^k \end{eqnarray*}$

Jetzt jetzt hapert es noch an der Verwendung von den Eigenschaften der geometrischen Reihe unglücklich

unglücklich

03.06.2012, 14:35

Iorek

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Du hast doch jetzt eine geometrische Reihe vorliegen, wie lautet hier dein $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ? Welche Bedingung muss das $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ erfüllen, damit die Reihe konvergiert?

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03.06.2012, 14:54

Mathe200

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$\begin{eqnarray*} q=3x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ dann konvergiert die Reihe.

03.06.2012, 14:56

Iorek

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Damit solltest du dann jetzt die Werte für x bestimmen können.

03.06.2012, 14:57

Mathe200

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Ah jetzt muss ich das nach x auflösen oder ?

$\begin{eqnarray*} 3x^3<x^3 \end{eqnarray*}$

03.06.2012, 14:59

Iorek

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Zitat:

Original von Mathe200
Ah jetzt muss ich das nach x auflösen oder ?

Ja.

Zitat:

Original von Mathe200
$\begin{eqnarray*} 3x^3<x^3 \end{eqnarray*}$

Nein, wo kommt auf einmal das $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite her? Und wo sind deine Betragsstriche?

03.06.2012, 14:59

Mathe200

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Sorry Tippfehler

$\begin{eqnarray*} 3x^3<1 \end{eqnarray*}$

03.06.2012, 15:04

Mathe200

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$\begin{eqnarray*} |3x^3| <1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |3x^3| <1 \end{eqnarray*}$ /3

$\begin{eqnarray*} |x^3| <\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x^3| <\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x| <0,6933612744 \end{eqnarray*}$

03.06.2012, 15:09

Iorek

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Ich würde hier keinen Näherungswert angeben, lass es als Wurzelausdruck stehen.

03.06.2012, 15:19

Mathe200

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Ok

In der Musterlösung steht es so. Also auch mit negativen Vorzeichen verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} x\in (-\frac{1}{ \sqrt[3]{3 }},\frac{1}{ \sqrt[3]{3 }} ) \end{eqnarray*}$

03.06.2012, 15:26

Iorek

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In der Musterlösung wird ein Intervall angeben, man kann es auch mit den Betragsstrichen stehen lassen.

03.06.2012, 15:38

Mathe200

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Gut

smile

Fehlt nur noch welcher Wert ergibt sich im Konvergenzfall in Abhängigkeit von x.

Das versteh ich leider nicht ...

In der Lösung steht:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty 3^kx^{3k-1}=\frac{1}{1-3x^3}-1 \end{eqnarray*}$

Wie kommt man darauf ?

03.06.2012, 15:40

Iorek

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Du hast eine geometrische Reihe, da gibt es eine Formel für den Reihenwert...

03.06.2012, 17:56

Mathe200

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Diese ?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty aq^{n-1}=a+aq+aq^2+...+aq^{n-1}+...=\frac{a}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$

03.06.2012, 18:06

Iorek

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Ja, das ist die Summenformel die du verwenden kannst. Alternativ kann diese mittels einer Indexverschiebung auch bei n=0 starten.

03.06.2012, 18:49

Mathe200

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Ich weiß nicht was ich falsch mache unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty aq^{n-1}=a+aq+aq^2+...+aq^{n-1}+...=\frac{a}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(3*x^3)^k}{x}=\frac{1}{x}*(3*x^3) \sum\limits_{k=1}^\infty (3*x^3)^{k-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q=3x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=3x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{3x^2}{1-3x^3} \end{eqnarray*}$

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